[论文解读] Gromov-Monge quasi-metrics and distance distributions

Facundo Mémoli, Tom Needham|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2018

Topological and Geometric Data Analysis被引用 7

一句话总结

本文引入了Gromov-Monge距离，这是一种新颖的准度量，用于通过结合最优传输与Gromov-Hausdorff思想来比较度量测度空间。证明了该距离在某些子类上为真正度量，并基于距离分布推导出多项式时间可计算的下界，这些下界被证明可在局部区分度量树，并否定了平面曲线的曲线直方图猜想。

ABSTRACT

Applications in shape analysis and object classification often require maps between metric spaces which preserve geometry as much as possible. In this paper, we combine the Monge formulation of optimal transport with the Gromov-Hausdorff construction to define a measure of the minimum amount of geometric distortion required to map one metric measure space onto another. We show that the resulting quantity, called Gromov-Monge distance, defines an extended quasi-metric on the space of isomorphism classes of metric measure spaces and that it can be promoted to a true metric on certain subclasses of mm-spaces. We also give precise comparisons between Gromov-Monge distance and several other metrics which have appeared previously, such as the Gromov-Wasserstein metric and the continuous Procrustes metric. Finally, we derive polynomial-time computable lower bounds for Gromov-Monge distance. These lower bounds are expressed in terms of classical invariants of mm-spaces called distance distributions. In the second half of the paper, which may be of independent interest, we study the discriminative power of these lower bounds for simple subclasses of metric measure spaces. We first consider the case of planar curves, where we give a counterexample to the Curve Histogram Conjecture of Brinkman and Olver. Next we show that one of our lower bounds distinguishes metric trees locally---trees which lie sufficiently close to one another in Gromov-Hausdorff distance are always distinguished---and generically with respect to a natural measure on the space of trees.

研究动机与目标

• 定义一种新的度量测度空间之间的几何距离，结合最优传输与Gromov-Hausdorff思想。
• 建立Gromov-Monge距离的理论性质，包括其作为准度量的结构，以及其成为真正度量的条件。
• 基于经典不变量（如距离分布）推导出Gromov-Monge距离的计算高效下界。
• 评估这些下界在特定度量测度空间类（如平面曲线和度量树）上的判别能力。

提出的方法

• 将Gromov-Monge距离表述为使用Monge形式最优传输将一个度量测度空间映射到另一个所需最小几何畸变。
• 应用Gromov-Hausdorff框架定义mm-空间之间畸变的度量，从而在同构类上得到一个扩展的准度量。
• 基于距离分布（即空间中成对距离的概率分布）推导出Gromov-Monge距离的多项式时间可计算下界。
• 利用这些下界分析该度量在mm-空间子类（特别是平面曲线和度量树）上的判别能力。
• 使用反例和局部分析测试下界的有效性，包括对曲线直方图猜想的否定。
• 应用关于树空间上自然测度的通用性结果，表明这些下界在通用意义下可区分树。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过结合最优传输与Gromov-Hausdorff思想，将Gromov-Monge距离定义为度量测度空间之间有意义的几何距离？
• RQ2 在何种条件下Gromov-Monge距离会成为真正度量而非仅准度量？
• RQ3 基于距离分布推导出的下界在区分度量测度空间方面有多高效？
• RQ4 这些下界是否否定了平面曲线的曲线直方图猜想？
• RQ5 这些下界能否在局部和通用意义上区分度量树？

主要发现

• 证明了Gromov-Monge距离是度量测度空间同构类空间上的扩展准度量。
• Gromov-Monge距离在mm-空间的某些子类上成为真正度量，证实了其理论稳健性。
• 基于距离分布推导出Gromov-Monge距离的多项式时间可计算下界，实现了高效计算。
• 提供了一个反例，否定了Brinkman与Olver对平面曲线的曲线直方图猜想。
• 其中一个下界在局部上可区分度量树——即在Gromov-Hausdorff距离接近的树总是能被区分——并且在树空间上自然测度下具有通用性。