[论文解读] Gromov--Witten invariants for mirror orbifolds of simple elliptic singularities

Ikuo Satake, Atsushi Takahashi|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 12

一句话总结

本文建立了加权射影直线 $×^1_{3,3,3}$ 的格罗莫夫-威滕理论、$E_6^{(1,1)}$ 型椭圆外尔群的不变量理论以及在无穷远处的简单椭圆奇点 $T_{3,3,3}$ 的普遍形变之间弗罗贝尼乌斯流形的同构关系。证明了零亏格与一亏格格罗莫夫-威滕势能可表示为拟模形式，从而为 K. 斋藤研究的某类 eta 乘积的傅里叶系数提供了几何解释。

ABSTRACT

We consider a mirror symmetry of simple elliptic singularities. In particular, we construct isomorphisms of Frobenius manifolds among the one from the Gromov--Witten theory of a weighted projective line, the one from the theory of primitive forms for a universal unfolding of a simple elliptic singularity and the one from the invariant theory for an elliptic Weyl group. As a consequence, we give a geometric interpretation of the Fourier coefficients of an eta product considered by K. Saito.

研究动机与目标

• 通过镜像对称，为 K. 斋藤研究的 eta 乘积的傅里叶系数建立几何实现。
• 证明由格罗莫夫-威滕理论、$E_6^{(1,1)}$ 型椭圆外尔群的不变量理论以及 $T_{3,3,3}$ 奇点在无穷远处的普遍形变所生成的弗罗贝尼乌斯流形之间存在同构关系。
• 验证 $×^1_{3,3,3}$ 的零亏格与一亏格格罗莫夫-威滕势能为拟模形式。
• 确认 $×^1_{3,3,3}$ 轨道丛的 G-函数与镜像对称及无穷远处初等形式的已知结果一致。

提出的方法

• 通过零亏格与一亏格势能，从轨道丛 $×^1_{3,3,3}$ 的格罗莫夫-威滕理论构造弗罗贝尼乌斯流形。
• 利用 WDVV 方程解的唯一性，建立弗罗贝尼乌斯流形之间的同构关系。
• 应用 K. 斋藤的初等形式理论于 $T_{3,3,3}$ 奇点在 $c = ∞$ 处的普遍形变，以定义弗罗贝尼乌斯流形结构。
• 通过文献中已知的同构关系，将椭圆外尔群 $W_{E_6^{(1,1)}}$ 的不变量理论所生成的弗罗贝尼乌斯流形与其余两者关联。
• 通过轨道丛稳定映射计数计算一亏格格罗莫夫-威滕势能，并验证其与 $-\frac{1}{3}\log(\eta(q^3))$ 一致。
• 验证其与 Dubrovin–Zhang 的 Virasoro 约束及 Strachan 对 $×^1_{3,3,3}$ 的 G-函数计算结果的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 K. 斋藤的 eta 乘积的傅里叶系数能否通过轨道丛的格罗莫夫-威滕不变量实现几何解释？
• RQ2 由格罗莫夫-威滕理论、$E_6^{(1,1)}$ 的不变量理论以及 $T_{3,3,3}$ 在无穷远处的普遍形变所生成的弗罗贝尼乌斯流形是否同构？
• RQ3 $×^1_{3,3,3}$ 的一亏格格罗莫夫-威滕势能是否可表示为拟模形式？
• RQ4 $×^1_{3,3,3}$ 轨道丛的 G-函数是否与已知结果 $-\frac{1}{3}\log(\eta(q^3))$ 一致？
• RQ5 在镜像对称背景下，$c = \infty$ 处初等形式的选择如何影响弗罗贝尼乌斯流形结构？

主要发现

• 弗罗贝尼乌斯流形 $M_{\u00d7^1_{3,3,3}}$、$M_{T_{3,3,3},\infty}$ 与 $M_{E_6^{(1,1)}}$ 同构，确立了 $(3,3,3)$ 情形下的镜像对称对应关系。
• 零亏格格罗莫夫-威滕势能 $F_0^{\u00d7^1_{3,3,3}}$ 为拟模形式，其成立由 WDVV 解的唯一性保证。
• 一亏格格罗莫夫-威滕势能 $F_1^{\u00d7^1_{3,3,3}}$ 显式表示为 $-\frac{1}{3}\log(\eta(q^3))$，证实其为拟模形式。
• $F_1^{\u00d7^1_{3,3,3}}$ 的计算与 Dubrovin–Zhang 的 Virasoro 约束及 Strachan 对 $×^1_{3,3,3}$ 的 G-函数结果一致。
• 通过势能的唯一性及无穷远处初等形式所确定的平直坐标，建立了同构 $M_{\u00d7^1_{3,3,3}} \simeq M_{T_{3,3,3},\infty}$。
• 通过格罗莫夫-威滕不变量 $a_0(1) = 1$（即计数 $\u00d7^1_{3,3,3}$ 上的恒等映射），实现了对 eta 乘积傅里叶系数的几何解释。