[论文解读] Gromov-Witten invariants for varieties with C* action

Anca Mustaţǎ, Andrei Mustaţǎ|arXiv (Cornell University)|May 6, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 5

一句话总结

本论文提出了一种虚拟局部化框架，通过将问题约化为不动点簇的不变量，并利用堆栈型GIT和Bialynicki-Birula分解构造显式的模空间 M_{ω,2}，实现了对具有 ℂ*-作用的光滑射影概形的Gromov-Witten不变量的计算。关键贡献在于系统地计算了虚拟法丛和虚拟基本类的不动部分，方法是利用通用族的逆极限与加权爆破。

ABSTRACT

For any smooth projective variety with a C* action, we reduce the problem of computing its Gromov-Witten invariants to the similar problem for its fixed locus. Starting from the stacky version of variation of GIT for our variety, we construct the building blocks for the fixed loci of the moduli space of stable maps. We use this construction to compute their contribution to the virtual fundamental class.

研究动机与目标

• 将虚拟局部化技术从具有强环作用的概形推广至一般具有 ℂ*-作用的光滑射影概形。
• 通过约化至不动点簇并分析分量 M_{ω,2}，计算稳定映射模空间的虚拟基本类。
• 通过堆栈型GIT商的逆极限与加权爆破，构建模空间的分层结构，以计算障碍理论的贡献。
• 推导出虚拟基本类的不动部分与移动部分的显式公式，其表达式基于法丛与等变欧拉类。
• 通过惯性堆栈与Bialynicki-Birula分层的拉回，处理 M_{ω,2} 中的非通用轨道类与轨道丛分量。

提出的方法

• 为 X 及其 Bialynicki-Birula 分层构建堆栈型GIT变化版本，以建模具有 ℂ*-作用的稳定映射模空间。
• 将 M_{ω,2} 定义为堆栈商与通用族构成的逆系统之逆极限，形成模空间、族与赋值映射的分层网络。
• 利用逆极限结构，通过 [M] 中定理6.3计算虚拟基本类的不动部分，通过障碍理论的等变欧拉类计算移动部分。
• 应用 [B2] 中的乘积公理，将虚拟法丛分解为不动点簇上切丛正负权空间的贡献。
• 对于非通用轨道类，使用中间分层的拉回，并考虑有限子群（如 ℤ_n）的作用，以建模轨道丛分量。
• 将虚拟法丛表示为对权 w 与指标 l 的求和，形式为等变线丛与障碍层 Q_w,± 和 P_w,± 的张量积，其系数取决于作用权。

实验结果

研究问题

• RQ1 虚拟局部化如何推广至具有有限个轨道的光滑射影概形之外的 ℂ*-作用？
• RQ2 在 ℂ*-概形的稳定映射模空间中，不动点簇的结构如何？其能否通过带标记图进行索引？
• RQ3 当同调类不是通用轨道类的倍数时，如何计算 M_{ω,2} 的虚拟基本类？
• RQ4 堆栈型GIT商与加权爆破在构造 M_{ω,2} 上的通用族中起到何种作用？
• RQ5 障碍理论的移动部分与不动部分的贡献如何组合，以得到完整的虚拟类？

主要发现

• 稳定映射模空间的虚拟基本类被约化为不动点簇分量 F_Γ 的和，其贡献形式为 [F_Γ]^{vir} / e^{ℂ*}(N^{vir}_{F_Γ})。
• 主分量 M_{ω,2} 构造为堆栈型GIT商及其通用族构成的系统之逆极限，其分层结构基于 Bialynicki-Birula 分层。
• 当 ω = ((u₀,u∞), nβ) 时，空间 M_{ω,2} 同构于 (M_{(0,k)}(X)/ℤ_n)，其虚拟类通过纤维积与等变欧拉类计算得出。
• M_{ω,2} 的虚拟法丛表示为对等变线丛在障碍层 Q_w,± 与 P_w,± 上的求和，其系数取决于作用权与指标。
• 当 β 不是通用轨道类时，M_{ω,2} 嵌入于 (M_{(j,q)}(X)/ℤ_n)，其虚拟类的不动部分由法丛上投影丛的乘积给出。
• 对于有理类 ω = ((u,v), n/m β)，虚拟法丛涉及缩放权 (lm)，并包含在 ℤ_m 非平凡作用于法丛的不动点簇 X_m 上的贡献。