[论文解读] Gromov-Witten invariants of blow-ups

Andreas Gathmann|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 60

一句话总结

本文提出了一种显式算法，用于计算在点处进行爆破的凸射影代数簇的亏格零 Gromov-Witten 不变量，其依据是原代数簇的不变量。该文建立了这些不变量具有枚举意义（即计数具有指定重数或相切条件的有理曲线）的条件，从而提供了一种新方法来计算经典不变量，例如五次三fold 上有理曲线的 $d^{-3}$ 重数，并验证了阿贝尔曲面上多阶切线的已知计数结果。

ABSTRACT

In the first part of the paper, we give an explicit algorithm to compute the (genus zero) Gromov-Witten invariants of blow-ups of an arbitrary convex projective variety in some points if one knows the Gromov-Witten invariants of the original variety. In the second part, we specialize to blow-ups of P^r and show that many invariants of these blow-ups can be interpreted as numbers of rational curves on P^r having specified global multiplicities or tangent directions in the blown-up points. We give various numerical examples, including a new easy way to determine the famous multiplicity d^{-3} for d-fold coverings of rational curves on the quintic threefold, and, as an outlook, two examples of blow-ups along subvarieties, whose Gromov-Witten invariants lead to classical multisecant formulas.

研究动机与目标

• 开发一种系统性算法，用于计算在点处进行爆破的凸射影代数簇的 Gromov-Witten 不变量。
• 确定这些不变量何时具有几何意义，即计数在爆破点处具有指定重数或相切条件的曲线。
• 将该算法应用于 $\mathbb{P}^r$ 的爆破，并恢复已知的经典枚举不变量，例如多阶切线的计数以及五次三fold 上有理曲线的计数。
• 探讨在高维或多重点爆破情况下，枚举解释的局限性。
• 将框架扩展至沿子簇的爆破，将不变量与经典多阶切线公式联系起来。

提出的方法

• 本文利用虚拟基本类构造了一个递归算法，从原代数簇 $X$ 的不变量出发，计算 $\tilde{X}$（即 $X$ 在点处的爆破）的 Gromov-Witten 不变量。
• 引入一个关键恒等式：$ I_{\beta}^{X}(\gamma_1 \otimes \cdots \otimes \gamma_n \otimes pt) = I_{p^*\beta - E'}^{\tilde{X}}(p^*\gamma_1 \otimes \cdots \otimes p^*\gamma_n) $，将 $X$ 与 $\tilde{X}$ 的不变量联系起来。
• 该方法基于例外除子类 $E'$ 构建递归关系，应用方程 $\mathcal{E}_{H'+eE'}$ 将负 $e$ 的不变量约化。
• 对于 $\tilde{X} = \tilde{\mathbb{P}}^r(s)$，通过递减 $e$ 来计算不变量，并根据上同调类是否为 $F$、$\gamma$ 或其他类型应用相应规则。
• 本文将‘枚举’不变量定义为计数在爆破点处具有指定全局重数 $-e_i$ 的曲线的不变量。
• 通过数值示例验证结果，包括五次三fold 上 $d$-重覆盖的 $d^{-3}$ 重数，以及 $\mathbb{P}^4$ 中阿贝尔曲面上的 25 条六阶切线。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$\mathbb{P}^r$ 在点处爆破的 Gromov-Witten 不变量具有枚举意义，即计数具有指定重数或相切条件的曲线？
• RQ2 该算法能否以一种新且更简单的方式计算五次三fold 上有理曲线的 $d$-重覆盖的 $d^{-3}$ 重数？
• RQ3 为何在 $r \geq 4$ 且 $s \geq 2$，或 $r=3$ 且条件非点时，不变量通常无法具有枚举意义？
• RQ4 爆破不变量在多大程度上能恢复经典枚举不变量，如曲面上的多阶切线计数？
• RQ5 在非凸爆破中，虚拟基本类与稳定映射理论的行为如何，特别是当 $h^1(C, f^*T_{\tilde{X}}) \neq 0$ 时？

主要发现

• 该算法成功地从原代数簇的不变量出发，计算出了所有在点处爆破的凸代数簇的亏格零 Gromov-Witten 不变量。
• 对于 $\tilde{\mathbb{P}}^r(1)$，所有不变量均为枚举型，即计数在单个爆破点处具有指定重数的曲线。
• 在 $\tilde{\mathbb{P}}^3(s)$ 中，当 $s \leq 4$ 且仅含点条件时，除少数例外情况外，所有不变量均为枚举型。
• 本文通过爆破不变量，首次给出了五次三fold 上有理曲线的 $d$-重覆盖的 $d^{-3}$ 重数的新推导。
• 通过递归计算 $I_{H' - 6E'}(1)$，确认了在 $\mathbb{P}^4$ 中，一个通用的度数为 10 的阿贝尔曲面的 6-阶切线数为 25。
• 不变量 $I_{H' - 3E'}(H^2)$ 给出 $t = \frac{(d-1)(d-2)(d-3)}{3} - g(d-2)$，与 $K3$ 曲面上有理曲线的经典结果一致。