[论文解读] Gromov-Witten invariants of CP^1 and integrable hierarchies

Todor Milanov|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2005

Nonlinear Waves and Solitons被引用 2

一句话总结

本文提出了一种用于描述$Χ P^1$的格罗莫夫-威滕不变量的广义刘易斯层次（ETH）的tau函数形式，通过仿射直线上微分算子代数中的顶点算子定义的Hirota双线性方程。关键贡献在于通过顶点算子取值的Hirota方程，新颖地实现了ETH的可积结构，为通过可积系统研究量子上同调提供了新的代数框架。

ABSTRACT

The Extended Toda Hierarchy (shortly ETH) was introduce by E. Getzler \cite{Ge} and independently by Y. Zhang \cite{Z} in order to describe an integrable hierarchy which governs the Gromov--Witten invariants of $\C P^1$. The {\em Lax type} presentation of the ETH was given in \cite{CDZ}. In this paper we give a description of the ETH in terms of {\em tau-functions} and Hirota Quadratic Equations (known also as Hirota Bilinear Equations). A new feature here is that the Hirota equations are given in terms of vertex operators taking values in the algebra of differential operators on the affine line.

研究动机与目标

• 为控制$Χ P^1$的格罗莫夫-威滕不变量的广义刘易斯层次（ETH）提供一个tau函数描述。
• 通过Hirota二次方程重新表述ETH，为其中可积结构提供新的代数视角。
• 引入取值于仿射直线上微分算子代数的顶点算子，作为该形式化中的核心工具。
• 通过一种新颖的Hirota型形式，建立$Χ P^1$的量子上同调与可积层次之间的联系。

提出的方法

• 以tau函数形式表述ETH，该函数编码了完整的解层次。
• 推导出Hirota双线性方程，作为控制tau函数的基本方程。
• 构造取值于仿射直线上微分算子代数的顶点算子。
• 利用这些顶点算子在非对易、算子取值的设定下表达Hirota方程。
• 利用微分算子代数的代数结构来定义顶点算子的作用。
• 由此得到的方程为ETH的可积结构提供了新的实现，将其与顶点算子代数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过tau函数和Hirota双线性方程重新表述广义刘易斯层次？
• RQ2 在ETH框架中，取值于仿射直线上微分算子代数的顶点算子起什么作用？
• RQ3 ETH的可积结构能否通过算子取值的Hirota方程来描述？
• RQ4 这种基于顶点算子的形式化与$Χ P^1$的格罗莫夫-威滕不变量有何关联？
• RQ5 通过在微分算子代数中用顶点算子表达ETH，会涌现出哪些新的代数结构？

主要发现

• 广义刘易斯层次成功地以tau函数形式重新表述，为$Χ P^1$的格罗莫夫-威滕不变量提供了新的可积结构。
• 利用取值于仿射直线上微分算子代数的顶点算子，构建了Hirota双线性方程。
• 顶点算子为Hirota方程提供了非对易的实现，丰富了ETH的代数框架。
• 由此得到的形式化为通过可积系统研究量子上同调提供了新的代数机制。
• 本文通过算子取值的Hirota方程，建立了$Χ P^1$几何与可积层次代数结构之间的直接联系。