[论文解读] Gromov-Witten invariants of general symplectic manifolds

Bernd Siebert|ArXiv.org|Aug 12, 1996

Geometric and Algebraic Topology参考文献 39被引用 59

一句话总结

本文通过使用库朗希结构和巴拿赫轨道丛上的弗雷德霍姆截面构造虚拟基本类，为任意辛流形建立了格罗莫夫-威滕不变量的完全一般理论，证明了其在辛形变下的不变性，并将理论扩展至传统上受限于法诺或卡拉比-丘流形的情形之外。

ABSTRACT

We present an approach to Gromov-Witten invariants that works on arbitrary (closed) symplectic manifolds. We avoid genericity arguments and take into account singular curves in the very formulation. The method is by first endowing mapping spaces from (prestable) algebraic curves into the symplectic manifold with the structure of a Banach orbifold and then exhibiting the space of stable $J$-curves (``stable maps'') as zero set of a Fredholm section of a Banach orbibundle over this space. The invariants are constructed by pairing with a homology class on the locally compact topological space of stable $J$-curves that is generated as localized Euler class of the section.

研究动机与目标

• 为任意辛流形发展格罗莫夫-威滕不变量的一般理论，无需第一陈类为正的条件。
• 通过恰当地处理伪全纯曲线模空间中无穷远处的“坏点集”，克服经典横截性与通用性论证的局限性。
• 利用库朗希结构与巴拿赫轨道丛上的弗雷德霍姆截面构造虚拟基本类，使在缺乏正则性时仍能定义不变量。
• 证明所得不变量在辛形变类内与几乎复结构的选择无关。
• 为与代数几何中的格罗莫夫-威滕理论进行比较奠定基础，最终统一辛几何与代数几何的不变量。

提出的方法

• 利用预稳定曲线的形变理论与局部统一化子，构造从预稳定曲线到辛流形 (M,ω) 的稳定连续映射的巴拿赫轨道丛。
• 将伪全纯映射的模空间建模为映射空间上一个巴拿赫轨道丛的可微弗雷德霍姆截面 $ s_{\bar{\partial},J} $ 的零点集。
• 应用巴拿赫轨道丛上的局部欧拉类理论，将虚拟基本类 $ \mathcal{GW} $ 定义为障碍丛欧拉类的庞加莱对偶。
• 使用库朗希结构解决奇点问题，确保虚拟周期的定义良好且与选择无关。
• 在单参数族几乎复结构 $ \{J_t\} $ 上构造连续的截面族 $ s_{\bar{\partial},\{J_t\}} $，通过相对庞加莱对偶性论证证明不变性。
• 通过评价映射下的上推，利用庞加莱对偶性与流形 M 上的上同调类，定义 GW-不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 格罗莫夫-威滕不变量能否在不依赖于正 canonical bundle 或其他曲率条件的情况下，为一般辛流形定义？
• RQ2 如何对伪全纯曲线的模空间进行紧化，以包含节点区域与泡状现象，同时保持定义良好的虚拟基本类？
• RQ3 在缺乏横截性的情况下，是否能够利用库朗希结构与弗雷德霍姆截面构造虚拟基本类？
• RQ4 所得不变量是否与辛形变类内兼容几乎复结构的选择无关？
• RQ5 能否通过比较定理使辛几何中的格罗莫夫-威滕理论与代数几何版本相容？

主要发现

• 本文使用库朗希结构与巴拿赫轨道丛上的弗雷德霍姆截面，在稳定映射模空间的同调中构造了虚拟基本类 $ \mathcal{GW} $。
• 格罗莫夫-威滕不变量定义为 $ p_*\left(\mathcal{GW} \cap \mathrm{ev}^*(\alpha_1 \times \cdots \times \alpha_k)\right) $，且与几乎复结构 $ J $ 的选择无关。
• 证明了这些不变量为辛形变不变量：在由同一辛形式控制的连续单参数族几乎复结构 $ \{J_t\} $ 下保持不变。
• 虚拟切丛 $ \mathrm{ind}\,s_{\bar{\partial},J} $ 被定义为轨道丛的格罗滕迪克群中的元素，推广了模空间的切丛。
• 该构造提供了与库朗希模型中选择无关的规范虚拟基本类，确保了一致性。
• 该理论可扩展至包含虚拟切丛的特征类及额外的典型类，如标记点处切丛的陈类。