[论文解读] Gromov-Witten invariants of $\mathbb{P}^1$ coupled to a KdV tau function

Paul Norbury|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 39被引用 5

一句话总结

本文通过将稳定映射模空间与来自 KdV 层级的 Berezin-Gross-Witten tau 函数导出的上同调类 $Θ_{g,n}$ 耦合，引入了针对 $π^1$ 的 $Θ$-Gromov-Witten 不变量。研究证明这些不变量由随机矩阵积分描述，并满足 Toda 方程，从而在 Gromov-Witten 理论、可积系统与矩阵模型之间建立了新联系。

ABSTRACT

We consider the pull-back of a natural sequence of cohomology classes $Θ_{g,n}\in H^{2(2g-2+n)}(\overline{\cal M}_{g,n})$ to the moduli space of stable maps ${\cal M}^g_n(\mathbb{P}^1,d)$. These classes are related to the Brézin-Gross-Witten tau function of the KdV hierarchy via $Z^{BGW}(\hbar,t_0,t_1,...)=\exp\sum\frac{\hbar^{2g-2}}{n!}\int_{\overline{\cal M}_{g,n}}Θ_{g,n}\cdot\prod_{j=1}^nψ_j^{k_j}\prod t_{k_j}$. Insertions of the pull-backs of the classes $Θ_{g,n}$ into the integrals defining Gromov-Witten invariants define new invariants which we show in the case of target $\mathbb{P}^1$ are given by a random matrix integral and satisfy the Toda equation.

研究动机与目标

• 通过将 Gromov-Witten 不变量与来自 Berezin-Gross-Witten tau 函数的上同调类 $Θ_{g,n}$ 耦合，定义并研究 $Θ$-Gromov-Witten 不变量。
• 研究目标空间 $π^1$ 的这些不变量的结构，特别是其生成函数与可积性性质。
• 建立 $Θ$-Gromov-Witten 不变量与随机矩阵积分之间的联系，为这些不变量提供新的实现方式。
• 证明这些不变量满足 Toda 方程，揭示其背后的可积结构。

提出的方法

• 通过在 $\overline{\cal M}_{g,n}(\mathbb{P}^1,d)$ 的虚拟基本类上积分拉回类 $Θ_{g,n}^{X}$，定义 $Θ$-Gromov-Witten 不变量。
• 利用遗忘映射 $p: \overline{\cal M}_{g,n}(\mathbb{P}^1,d) \to \overline{\cal M}_{g,n}$，从曲线模空间拉回类 $\Theta_{g,n}$。
• 从带有 $\tau_k(\omega)$ 和 $\tau_k(1)$ 插入项的不变量生成系列中构造自由能 $F^\Theta_{\mathbb{P}^1}$ 与划分函数 $Z^\Theta_{\mathbb{P}^1}$。
• 证明当设定 $\hbar = N^{-1}$ 且 $t_k = 0$ 时，划分函数与随机矩阵积分的渐近展开一致，积分区域为 $[-2,2]^N$，且包含范德蒙德行列式。
• 通过分析量子曲线与波函数结构，推导出划分函数的 Toda 方程。
• 利用 Toda 方程与稀释方程，计算 0 点不变量及涉及 $\lambda_{g-1}$ 与 $\Theta_g$ 的 Hodge 积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何理解 $\mathbb{P}^1$ 的 $Θ$-Gromov-Witten 不变量与随机矩阵积分之间的关系？
• RQ2 这些不变量是否满足 Toda 方程？若满足，其可积结构如何体现？
• RQ3 0 点 $Θ$-Gromov-Witten 不变量的显式形式是什么？其与 Hodge 积分有何关联？
• RQ4 划分函数能否表示为矩阵模型积分的渐近展开？
• RQ5 在模空间 $\overline{\cal M}_g$ 中，$Θ$-类如何与 Hodge 类 $\lambda_{g-1}$ 相互作用？

主要发现

• 对于 $\mathbb{P}^1$，划分函数 $Z^\Theta_{\mathbb{P}^1}$ 与随机矩阵积分的渐近展开一致：$Z^\Theta_{\mathbb{P}^1}(\hbar=N^{-1}, \{s_k\}, \{t_k=0\}) = \frac{c}{N!} \int_{[-2,2]^N} \prod_{i<j}(x_i - x_j)^2 \exp\left(N \sum_{k \geq 0} s_k \sum_{i=1}^N x_i^{k+1}\right) dx_1 \cdots dx_N$。
• 0 点 $Θ$-Gromov-Witten 不变量满足 $F_g = \frac{(1 - 2^{-2g})}{g(g-1)} B_{2g}$，其中 $B_{2g}$ 为伯努利数。
• 生成系列 $\sum_{g>1} \hbar^{2g-2} \int_{\overline{\cal M}_g} \lambda_{g-1} \Theta_g$ 的表达式为 $\frac{1}{128}\hbar^2 + \frac{1}{512}\hbar^4 + \frac{17}{12288}\hbar^6 + \cdots$。
• 通过量子曲线计算出 1 点与 2 点不变量（在度数 1 时）：$H_1(\hbar) = \hbar^{-2} + \frac{1}{4 - \hbar^2}$，以及 $G_1(\hbar) = -\hbar^{-2} + \frac{1}{4 - \hbar^2}$。
• Toda 方程控制划分函数：$\frac{Z_0(\frac{\hbar}{1-\hbar}) Z_0(\frac{\hbar}{1+\hbar})}{Z_0(\hbar)^2} = \frac{4}{4 - \hbar^2}$，该方程决定了 0 点系列。
• 0 点不变量满足 $Z_0 = \exp\left(\sum \left(\frac{\hbar}{1 - t_0}\right)^{2g-2} F_g\right)$，且 Hodge 积分由稀释方程与关系式 $\int_{\overline{\cal M}_{g,n+1}} \lambda_{g-1} \Theta_{g,n+1} = (2g - 2 + n) \int_{\overline{\cal M}_{g,n}} \lambda_{g-1} \Theta_{g,n}$ 确定。