[论文解读] Gromov-Witten invariants of symplectic quotients and adiabatic limits

Ana Rita Gaio, Dietmar Salamon|ArXiv.org|Jun 19, 2001

Geometric and Algebraic Topology被引用 4

一句话总结

本文在具有哈密顿群作用的辛流形的等变上同调与它的辛商的量子上同调之间建立了环同态，表明通过环境空间中椭圆PDE组定义的亏格零Gromov–Witten不变量在单调情形下对应于商空间的不变量。关键结果通过联络和矩映射的绝热极限过程将这些不变量联系起来。

ABSTRACT

We study pseudoholomorphic curves in symplectic quotients as adiabatic limits of solutions of a system of nonlinear first order elliptic partial differential equations in the ambient symplectic manifold. The symplectic manifold carries a Hamiltonian group action. The equations involve the Cauchy-Riemann operator over a Riemann surface, twisted by a connection, and couple the curvature of the connection with the moment map. Our main theorem asserts that the genus zero invariants of Hamiltonian group actions defined by these equations are related to the genus zero Gromov--Witten invariants of the symplectic quotient (in the monotone case) via a natural ring homomorphism from the equivariant cohomology of the ambient space to the quantum cohomology of the quotient.

研究动机与目标

• 将具有哈密顿群作用的辛流形的Gromov–Witten不变量与它的辛商的不变量联系起来。
• 将辛商中的伪全纯曲线视为环境空间中耦合非线性椭圆PDE组解的绝热极限进行分析。
• 在环境空间的等变上同调与商空间的量子上同调之间建立自然的环同态。
• 证明通过PDE组定义的亏格零不变量在单调情形下与商空间的标准Gromov–Witten不变量一致。
• 为理解在辛约化下量子不变量提供几何与分析框架。

提出的方法

• 在黎曼曲面上建立一个耦合柯西–黎曼算子、联络与矩映射的一阶非线性椭圆PDE组。
• 在黎曼曲面上的主丛上使用联络，其曲率项通过方程与矩映射相关联。
• 应用绝热极限过程，将环境空间上的辛形式进行缩放，以突出商结构。
• 运用辛几何与 gauge 理论中的技术，包括与矩映射相关的联络和向量场。
• 通过将PDE组的线性化算子分解为沿矩映射水平集的切向与法向分量进行分析。
• 依赖于关于李导数与协变导数的引理，推导线性化算子的恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在单调情形下，具有哈密顿G作用的辛流形的Gromov–Witten不变量与它的辛商的不变量之间有何关系？
• RQ2 辛商中的伪全纯曲线能否作为环境空间中耦合PDE组解的极限出现？
• RQ3 是否存在从环境空间的等变上同调到商空间的量子上同调的自然环同态，且保持亏格零不变量？
• RQ4 矩映射与联络曲率在环境空间与商空间不变量之间的对应关系中起什么作用？
• RQ5 绝热极限过程如何从原始流形的等变不变量中恢复出辛商的量子上同调结构？

主要发现

• 存在一个从等变上同调 H*(MG) 到辛商 M̄ 的量子上同调 QH*(M̄) 的自然环同态 φ。
• 通过环境空间中PDE组定义的亏格零Gromov–Witten不变量在同态 φ 下映射到商空间的标准亏格零不变量。
• 不变量的图交换：同态 φ 与商空间的量子不变量的复合等于由PDE组定义的不变量。
• 该对应关系在辛商为单调的假设下成立，从而保证了量子上同调的良定义性。
• PDE组的线性化算子可分解为切向与法向分量，其恒等式通过李导数与协变导数推导得出。
• 证明依赖于对线性化算子的详细分析，包括联络与曲率项的李导数恒等式。