[论文解读] Gromov-Witten invariants of varieties with holomorphic 2-forms

Young‐Hoon Kiem, Jun Li|ArXiv.org|Jul 20, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 25

一句话总结

本文引入了一类针对配备全纯2-形式的光滑代数簇的局部化格罗莫夫-威滕（GW）不变量，采用余截面局部化技术，将虚拟基本类限制在形式的退化点集上。主要贡献是一个在形变下不变的不变量，当簇为完备时可恢复普通GW不变量，并给出了 $ p_g > 0 $ 的极小一般型曲面低次GW不变量的公式，验证了 Maulik 与 Pandharipande 的猜想。

ABSTRACT

We show that a holomorphic two-form $θ$ on a smooth algebraic variety X localizes the virtual fundamental class of the moduli of stable maps $\mgn(X,β)$ to the locus where $θ$ degenerates; it then enables us to define the localized GW-invariant, an algebro-geometric analogue of the local invariant of Lee and Parker in symplectic geometry, which coincides with the ordinary GW-invariant when X is proper. It is deformation invariant. Using this, we prove formulas for low degree GW-invariants of minimal general type surfaces with p_g>0 conjectured by Maulik and Pandharipande.

研究动机与目标

• 开发一种基于全息2-形式的格罗莫夫-威滕不变量的新代数几何局部化技术。
• 在稳定映射模空间上，定义一个支持于全纯2-形式退化点集的局部化虚拟基本类。
• 证明在较弱条件下，局部化GW不变量是形变不变的。
• 将该方法应用于计算极小一般型曲面（$ p_g > 0 $）的低次GW不变量，验证Maulik与Pandharipande的猜想。
• 通过逐步局部化，将纤维化于具有全纯2-形式的曲面上的三纤维的GW不变量计算，简化为曲线不变量的计算。

提出的方法

• 从光滑簇 $ X $ 上的全纯2-形式 $ \theta $ 构造一个余截面 $ \sigma: \mathcal{O}b_{\mathcal{M}} \to \mathcal{O}_{\mathcal{M}} $，其诱导虚拟周期在余截面退化点集 $ Z(\sigma) $ 上的局部化。
• 定义局部化虚拟基本类 $ [\mathcal{M}]^{\mathrm{vir}}_{\mathrm{loc}} \in H_*^{BM}(Z(\sigma)) $，其在较弱条件下为典范且形变不变。
• 证明 $ [\mathcal{M}]^{\mathrm{vir}}_{\mathrm{loc}} $ 在 $ H_*(\mathcal{M}) $ 上的推出在 $ X $ 为完备时恢复普通虚拟类。
• 利用局部化不变量，将极小一般型曲面 $ S $（$ p_g > 0 $）的GW不变量与曲面 $ D $（亏格为 $ K_S^2 + 1 $）的扭曲GW不变量联系起来，通过 $ D $ 上一个theta特征 $ L $ 的总空间实现。
• 应用退化公式，将全部GW不变量简化为曲线的扭曲不变量与低次相对局部化不变量。
• 通过组合论证与虚拟局部化技术，计算分支双覆盖的贡献，并验证度数1与2不变量的最终公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用簇上的全纯2-形式来局部化稳定映射模空间的虚拟基本类？
• RQ2 在何种条件下可保证局部化GW不变量为形变不变？
• RQ3 局部化不变量是否能恢复或计算完备簇的普通GW不变量？
• RQ4 曲面 $ D $ 上theta特征 $ L $ 的总空间的局部化不变量是否能计算极小一般型曲面（$ p_g > 0 $）的GW不变量？
• RQ5 该方法能否推广至具有全纯2-形式的曲面之上的三纤维，以实现将不变量简化为曲线层面的计算？

主要发现

• 除非 $ \beta $ 由 $ \theta $-零稳定映射表示（即其像位于 $ \theta $ 的退化点集内），否则 $ \mathcal{M}_{g,n}(X,\beta) $ 的虚拟基本类为零。
• 在余截面满足较弱条件时，局部化GW不变量为形变不变，推广了李与帕克在辛几何中的结果。
• 对于光滑极小一般型曲面 $ S $（$ p_g > 0 $），所有GW不变量为零，除非 $ \beta $ 是 $ c_1(K_S) $ 的非负倍数。
• 曲面 $ D $（亏格 $ h = K_S^2 + 1 $）上theta特征 $ L $ 的总空间的局部化GW不变量，可计算 $ S $ 的GW不变量，其中存在一个典范同态 $ \rho: H^*(S,\mathbb{Z}) \to H^*(X,\mathbb{Z}) $。
• 对于度数1与2，局部化不变量与Maulik与Pandharipande所猜想的公式一致，通过分支双覆盖贡献的组合计算得以验证。
• 该方法通过逐步局部化与存在Torus作用时的虚拟局部化，将具有全纯2-形式的曲面上的三纤维的GW不变量简化为曲线不变量。