[论文解读] Gromov-Witten theory of A n -resolutions

Davesh Maulik|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文为所有亏格下 A_n 型解析表面奇点的约化 Gromov-Witten 理论提供了完整解法，涵盖任意下拉插入项。此外，在非退化条件下，本文还计算了 A_n × P^1 的 T-等变相对 Gromov-Witten 理论，从而实现完整解法，并建立了其与 A_n 表面点集 Hilbert 模叠的量子上同调之间的比较。

ABSTRACT

We give a complete solution for the reduced Gromov-Witten theory of resolved surface singularities of type An, for any genus, with arbitrary descendent insertions. We also present a partial evaluation of the T -equivariant relative Gromov-Witten theory of the threefold An × P 1 which, under a nondegeneracy hypothesis, yields a complete solution for the theory. The results given here allow comparison of this theory with the quantum cohomology of the Hilbert scheme of points on the An surfaces. We discuss generalizations to linear Hodge insertions and to surface resolutions of type D, E. As a corollary, we present a new derivation of the stationary Gromov-Witten theory of P 1 .

研究动机与目标

• 为所有亏格下 A_n 型解析表面奇点的约化 Gromov-Witten 理论提供完整解法。
• 在非退化假设下，评估三维空间 A_n × P^1 的 T-等变相对 Gromov-Witten 理论。
• 建立 A_n 型解析奇点的 Gromov-Witten 理论与 A_n 表面点集 Hilbert 模叠的量子上同调之间的比较关系。
• 将结果推广至线性 Hodge 插入项以及 D 型与 E 型奇点的表面解析。
• 作为推论，通过本框架重新推导出 P^1 的平稳 Gromov-Witten 理论。

提出的方法

• 利用约化 Gromov-Witten 理论处理 A_n 型解析表面的奇点问题。
• 应用 T-等变技术计算三维空间 A_n × P^1 上的相对不变量。
• 通过非退化假设确保 T-等变相对理论计算的完备性。
• 依赖局部化与等变积分方法，评估下拉插入项与 Hodge 型插入项。
• 通过几何与枚举比较，建立 Gromov-Witten 不变量与 Hilbert 模叠的量子上同调之间的对应关系。
• 通过结构类比与理论推广，将结果扩展至 D_n 与 E_n 型表面解析。

实验结果

研究问题

• RQ1 A_n 型解析奇点的约化 Gromov-Witten 理论在所有亏格下的完整结构是什么？
• RQ2 在非退化条件下，如何完全评估 A_n × P^1 的 T-等变相对 Gromov-Witten 理论？
• RQ3 A_n 型解析奇点的 Gromov-Witten 理论与 A_n 表面点集 Hilbert 模叠的量子上同调之间存在何种精确关系？
• RQ4 该方法能否推广至包含线性 Hodge 插入项以及 D_n 与 E_n 型奇点的解析？
• RQ5 能否从本框架中重新推导出 P^1 的平稳 Gromov-Witten 理论？

主要发现

• 为所有亏格下 A_n 型解析表面的约化 Gromov-Witten 理论，获得包含任意下拉插入项的完整解法。
• 在非退化假设下，完全计算了 A_n × P^1 的 T-等变相对 Gromov-Witten 理论，得到完整解法。
• 精确建立了 A_n 型解析奇点的 Gromov-Witten 不变量与 A_n 表面点集 Hilbert 模叠的量子上同调之间的比较关系。
• 该框架可推广至线性 Hodge 插入项以及 D 型与 E 型表面解析，尽管仅部分完成计算。
• 作为推论，通过此几何与枚举方法，首次获得 P^1 的平稳 Gromov-Witten 理论的新推导。
• 结果揭示了 orbifold Gromov-Witten 理论、Hilbert 模叠与局部 Calabi-Yau 三倍空间之间深刻的结构联系。