[论文解读] Gromov-Witten theory of Deligne-Mumford stacks

Dan Abramovich, Tom Graber+1 more|ArXiv.org|Mar 7, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 21

一句话总结

本文為德利涅-穆爾福德堆上的格罗莫夫-威滕理论建立了严格的代数几何基础，将康特绍维奇的稳定映射模空间推广至扭曲曲线和轨道丛。本文构建了扭曲稳定映射的堆，证明了完美障碍理论的存在性，并推导出虚拟基本类，从而通过查沃环和堆论技术定义了轨道丛上的格罗莫夫-威滕类与不变量。

ABSTRACT

Long ago, in math.AG/0112004, we pledged more details on the algebraic version of Chen-Ruan's math.AG/0103156. This is it.

研究动机与目标

• 为德利涅-穆尔福德堆上的格罗莫夫-威滕理论提供一个完整且严格的代数几何框架，扩展先前对轨道丛的研究。
• 形式化德利涅-穆尔福德堆上扭曲稳定映射的模空间，推广康特绍维奇对光滑代数簇的稳定映射模空间。
• 在扭曲稳定映射的堆上建立完美障碍理论的存在性，从而导出虚拟基本类。
• 通过虚拟基本类与评估映射的拉回，定义格罗莫夫-威滕类，实现不变量的计算。
• 阐明轨道丛设定下模堆边界的结构，表明节点曲线通过轨道丛点上的纤维积分解，推广经典情形。

提出的方法

• 使用奥尔松的代数堆与扭曲曲线框架，构建扭曲稳定映射的堆 ${\mathcal{K}}_{g,n}({\mathcal{X}},\beta)$。
• 利用循环性固有堆与刚化技术，描述自同构群与以 $\mu_r$ 为带的丛，这对轨道丛结构至关重要。
• 在一般设定下应用阿廷公理，证明模空间的代数堆结构，避免繁琐的逐项验证。
• 通过虚拟基本类 $[\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{X},\beta)]^{\text{vir}}$ 与上同调类的拉回的上积，定义格罗莫夫-威滕类。
• 利用堆范畴中余积的普遍性质，将模堆的边界描述为在目标堆上的纤维积。
• 利用奥尔松关于根堆与丛的结果，构建并分析扭曲曲线及其到目标堆 $\mathcal{X}$ 的映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 格罗莫夫-威滕理论如何从光滑代数簇推广至德利涅-穆尔福德堆，特别是在轨道丛设定下？
• RQ2 德利涅-穆尔福德堆上扭曲稳定映射的正确模理论构造是什么？它如何推广康特绍维奇的模空间？
• RQ3 扭曲稳定映射的堆是否具有完美障碍理论？若是，其对应的虚拟基本类是什么？
• RQ4 在轨道丛情形下，模堆的边界如何分解？这如何推广经典情形的边界分解？
• RQ5 堆论构造的格罗莫夫-威滕不变量与辛几何或商堆方法之间的确切关系为何？

主要发现

• 当 $\mathcal{X}$ 为光滑、分离的德利涅-穆尔福德堆时，扭曲稳定映射的堆 ${\mathcal{K}}_{g,n}({\mathcal{X}},\beta)$ 是关于 $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$ 的代数德利涅-穆尔福德堆，且为紧致、有限型。
• 当 $\mathcal{X}$ 光滑时，堆 ${\mathcal{K}}_{g,n}({\mathcal{X}},\beta)$ 具有完美障碍理论，从而在查沃环中定义了明确的虚拟基本类。
• 格罗莫夫-威滕类定义为 $\langle \gamma_1, \dots, \gamma_n, * \rangle^{\mathcal{X}}_{g,\beta} = e_{n+1*}(e_1^*\gamma_1 \cup \cdots \cup e_n^*\gamma_n \cap [\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{X},\beta)]^{\text{vir}})$，取值于 $A^*(\mathcal{X})$。
• 模堆的边界分解为在目标堆上的纤维积：$\Sigma \cong \coprod_{A\sqcup B, \beta_1+\beta_2=\beta} \overline{\mathcal{M}}_{0,A\sqcup\star}(\mathcal{X},\beta_1) \times_{\mathcal{X}} \overline{\mathcal{M}}_{0,B\sqcup\bullet}(\mathcal{X},\beta_2)$，反映了节点扭曲曲线的余积结构。
• 通过有限群 $H$ 对堆 $\mathcal{X}$ 的刚化等价于商 $\mathcal{X} / \mathcal{B}H$，其中商映射是一个以 $H$ 为带的丛，且作用是自由且 $H$-等变的。
• 通过丛与下降法构造堆 $\mathcal{X} \mathbin{\!\fatslash} H$，为刚化提供了模解释：即 $\mathcal{X}$ 关于 $\mathcal{B}H$ 作用的商堆。