[论文解读] Gromov-Witten theory of etale gerbes, I: root gerbes

Elena Andreini, Yunfeng Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 15

一句话总结

本文利用基底概形 $X$ 上的 genus 0 稳定映射模空间，构建了到根丛 gerbe $√[r]{\mathcal{L}/X}$ 的 genus 0 扭曲稳定映射的模堆栈，并建立了一个精确公式，将根丛 gerbe 的 genus 0 Gromov-Witten 不变量用 $X$ 的不变量表示，为平展 gerbe 背景下的 Gromov-Witten 理论提供了精确的计算工具。

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth complex projective algebraic variety. Given a line bundle $\mathcal{L}$ over $X$ and an integer $r>1$ one defines the stack $\sqrt[r]{\mathcal{L}/X}$ of $r$-th roots of $\mathcal{L}$. Motivated by Gromov-Witten theoretic questions, in this paper we analyze the structure of moduli stacks of genus $0$ twisted stable maps to $\sqrt[r]{\mathcal{L}/X}$. Our main results are explicit constructions of moduli stacks of genus $0$ twisted stable maps to $\sqrt[r]{\mathcal{L}/X}$ starting from moduli stack of genus $0$ stable maps to $X$. As a consequence, we prove an exact formula expressing genus $0$ Gromov-Witten invariants of $\sqrt[r]{\mathcal{L}/X}$ in terms of those of $X$.

研究动机与目标

• 理解模堆栈 $\sqrt[r]{\mathcal{L}/X}$ 上 genus 0 扭曲稳定映射的结构。
• 解决代数堆栈和 gerbe 背景下出现的 Gromov-Witten 理论问题。
• 建立根丛 gerbe 与基底概形 $X$ 的 Gromov-Witten 不变量之间的精确关系。
• 从 $X$ 上已知的数据出发，显式构造扭曲稳定映射模堆栈。

提出的方法

• 利用 $X$ 上 genus 0 稳定映射的模堆栈，构建 $\sqrt[r]{\mathcal{L}/X}$ 上 genus 0 扭曲稳定映射的模堆栈。
• 在根丛 gerbe 的背景下应用扭曲稳定映射理论，利用其堆栈结构。
• 利用自然态射 $\sqrt[r]{\mathcal{L}/X} \to X$ 提升映射并分析扭曲结构。
• 采用等变与堆栈理论技术，控制模问题中的轨道丛与 gerbe 结构。
• 通过局部化与障碍理论推导出根丛不变量与 $X$ 不变量之间的通用公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 到根丛 $\sqrt[r]{\mathcal{L}/X}$ 的 genus 0 扭曲稳定映射如何与到基底概形 $X$ 的映射相关？
• RQ2 能否从 $X$ 的模堆栈显式构造出 $\sqrt[r]{\mathcal{L}/X}$ 上 genus 0 扭曲稳定映射的模堆栈？
• RQ3 根丛 $\sqrt[r]{\mathcal{L}/X}$ 与基底概形 $X$ 的 genus 0 Gromov-Witten 不变量之间存在何种精确关系？
• RQ4 gerbe 结构在 genus 0 情况下如何影响 Gromov-Witten 不变量？

主要发现

• $\sqrt[r]{\mathcal{L}/X}$ 上 genus 0 扭曲稳定映射的模堆栈可从 $X$ 上 genus 0 稳定映射的模堆栈显式构造。
• 根丛 $\sqrt[r]{\mathcal{L}/X}$ 的 genus 0 Gromov-Witten 不变量可通过一个精确公式用 $X$ 的不变量表示。
• 该公式通过与根次数 $r$ 相关的乘法因子，考虑了 gerbe 结构的贡献。
• 该构造与模空间的虚拟基本类及障碍理论相容。
• 该结果为利用基底概形的不变量计算根丛不变量提供了一套系统方法。
• 该方法适用于所有光滑复射影概形及所有整数 $r > 1$。