[论文解读] Gromov-Witten theory of orbicurves, the space of tri-polynomials and Symplectic Field Theory of Seifert fibrations

Paolo Rossi|ArXiv.org|Aug 19, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 8

一句话总结

本文通过扩展的辛几何场论（SFT）计算了亏格0的量子势能，建立了在形式为 $F(x,y,z) = -xyz + P_1(x) + P_2(y) + P_3(z)$ 的三元多项式空间上定义的弗罗贝尼乌斯流形与 $\pi^1_{\alpha_1,\ldots,\alpha_a}$ 的好空间格罗莫夫-威滕理论之间的镜像同构。研究证明，仅当为 $\mathbb{P}^1_{2,2,r}$、$\mathbb{P}^1_{2,3,3}$、$\mathbb{P}^1_{2,3,4}$ 和 $\mathbb{P}^1_{2,3,5}$ 时，多项式量子上同调才会出现，并为这些好空间上的塞弗特纤维丛给出了显式的 SFT-哈密顿量。

ABSTRACT

We compute, with Symplectic Field Theory techniques, the Gromov-Witten theory of the complex projective line with orbifold points. A natural subclass of these orbifolds, the ones with polynomial quantum cohomology, gives rise to a family of (polynomial) Frobenius manifolds and integrable systems of Hamiltonian PDEs, which extend the (dispersionless) bigraded Toda hierarchy. We then define a Frobenius structure on the spaces of polynomials in three complex variables of the form F(x,y,z)= -xyz+P_1(x)+P_2(y)+P_3(z) which contains as special cases the ones constructed on the space of Laurent polynomials. We prove a mirror theorem stating that these Frobenius structures are isomorphic to the ones found before for polynomial P1-orbifolds. Finally we link rational Symplectic Field Theory of Seifert fibrations over S^2 and three singular fibers with orbifold Gromov-Witten invariants of the base, extending a known result valid in the smooth case.

研究动机与目标

• 使用对辛几何场论的扩展，计算 $\mathbb{P}^1_{\alpha_1,\ldots,\alpha_a}$ 的亏格0好空间格罗莫夫-威滕势能，涵盖好空间钴 bordism。
• 识别出具有多项式量子上同调的好曲线类，并构造相应的多项式弗罗贝尼乌斯流形。
• 在给定次数 $p,q,r$ 满足 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} > 1$ 的三元多项式 $F(x,y,z) = -xyz + P_1(x) + P_2(y) + P_3(z)$ 的空间上定义弗罗贝尼乌斯结构。
• 证明一个镜像定理，建立这些三元多项式弗罗贝尼乌斯流形与 $\mathbb{P}^1_{p,q,r}$-好空间量子上同调之间的同构。
• 将有理 SFT 与塞弗特纤维丛在好空间上的格罗莫夫-威滕不变量之间的对应关系推广，推广了光滑情形下的已知结果。

提出的方法

• 将辛几何场论扩展至包含二维目标钴 bordism 中的 $\mathbb{Z}_k$-奇点，修改好空间映射的指标公式与分次。
• 通过赫尔维茨数，将 $\mathbb{P}^1_{\alpha_1,\ldots,\alpha_a}$ 的亏格0格罗莫夫-威滕势能表示为好空间上同调变量的幂级数。
• 使用留数配对与欧拉向量场，在固定次数 $p,q,r$ 的三元多项式 $F(x,y,z) = -xyz + P_1(x) + P_2(y) + P_3(z)$ 的空间上定义弗罗贝尼乌斯流形结构。
• 推导出一个显式积分公式，将塞弗特纤维丛 $V$ 在 $\mathbb{P}^1_{\alpha_1,\ldots,\alpha_a}$ 上的有理 SFT 势能与基空间的好空间格罗莫夫-威滕势能关联，积分区间为 $x \in [0, 2\pi \alpha_1\cdots\alpha_a]$，形式为傅里叶型积分。
• 利用杜布罗文与张的重构定理，通过匹配单位向量、欧拉向量与交截度量，证明 $M_{2,2,r}$ 与弗罗贝尼乌斯流形 $M(D_{r+2},r)$ 同构。
• 在 SFT 框架中，使用好空间庞加莱配对与度数偏移数 $\iota_n = \frac{l}{\alpha_i}$ 定义泊松结构与分次。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些好曲线 $\mathbb{P}^1_{\alpha_1,\ldots,\alpha_a}$，格罗莫夫-威滕势能会在偶数好空间上同调变量中截断为多项式？
• RQ2 能否在固定次数 $p,q,r$ 的三元多项式 $F(x,y,z) = -xyz + P_1(x) + P_2(y) + P_3(z)$ 的空间上构造弗罗贝尼乌斯流形？在何种条件下该流形为多项式？
• RQ3 是否存在三元多项式弗罗贝尼乌斯流形 $M_{p,q,r}$ 与好空间量子上同调 $QH^*_{\text{orb}}(\mathbb{P}^1_{p,q,r})$ 之间的镜像同构？
• RQ4 如何用基空间的好空间格罗莫夫-威滕不变量表达塞弗特纤维丛上 $\mathbb{P}^1_{\alpha_1,\ldots,\alpha_a}$ 的有理 SFT-哈密顿量？
• RQ5 预量子化丛 $V$ 的 SFT 势能与基空间格罗莫夫-威滕势能之间的精确关系为何？该关系推广了光滑情形下的结果。

主要发现

• 当且仅当好曲线为 $\mathbb{P}^1_{2,2,r}$（$r \geq 4$）、$\mathbb{P}^1_{2,3,3}$、$\mathbb{P}^1_{2,3,4}$ 或 $\mathbb{P}^1_{2,3,5}$ 时，$\mathbb{P}^1_{\alpha_1,\ldots,\alpha_a}$ 的格罗莫夫-威滕势能会截断为偶数好空间上同调变量的多项式，从而产生多项式弗罗贝尼乌斯流形。
• 在满足 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} > 1$ 条件下，三元多项式空间上的弗罗贝尼乌斯流形 $M_{p,q,r}$ 与 $QH^*_{\text{orb}}(\mathbb{P}^1_{p,q,r})$ 同构，从而确立了镜像定理。
• $M_{2,2,r}$ 流形与关联于扩展仿射外尔群 $\tilde{D}_l$ 的弗罗贝尼乌斯流形 $M(D_{r+2},r)$ 同构，通过单位向量、欧拉向量与交截度量的匹配得到验证。
• 塞弗特纤维丛 $V$ 在 $\mathbb{P}^1_{\alpha_1,\ldots,\alpha_a}$ 上的有理 SFT 势能由积分给出：$x \in [0, 2\pi \alpha_1\cdots\alpha_a]$，积分被积函数为参数偏移后的格罗莫夫-威滕势能与相位因子 $e^{-i c_1(V) x}$ 的乘积。
• SFT-哈密顿量 $\mathbf{h}^j_V$ 与格罗莫夫-威滕下位不变量 $\mathbf{f}^j_P$ 通过包含度数偏移数 $\iota_n = \frac{l}{\alpha_i}$ 的傅里叶型积分相关联，适用于扭扇区。
• 该构造为接触3-流形（如透镜空间（A型）、棱柱流形（D型）与庞加莱球面的奇异商（E型））提供了显式的 SFT-哈密顿量，推广了光滑情形。