[论文解读] Gromov-Witten Theory of Quotient of Fermat Calabi-Yau varieties

Hiroshi Iritani, Todor Milanov+2 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 34被引用 4

一句话总结

本文通过证明 Landau-Ginzburg/Calabi-Yau 对应关系以及利用全局 B-模型技术对 Gromov-Witten 不变量的模形式性，建立了轨道化 Fermat Calabi-Yau 超曲面的镜像对称性。它在轨道化商的量子 D-模与对偶 Landau-Ginzburg 模型的 FJRW 理论之间构造了一个镜像映射，证明了 FJRW 理论的总祖先生成函数经由一个量子化辛变换被转化为 Gromov-Witten 生成函数。

ABSTRACT

We construct a global B-model for weighted homogeneous polynomials based on K. Saito's theory of primitive forms. Our main motivation is to give a rigorous statement of the so called global mirror symmetry conjecture relating Gromov-Witten invariants and Fan--Jarvis--Ruan--Witten invariants. Furthermore, our construction allows us to generalize the notion of a quasi-modular form and holomorphic anomaly equations. Finally, we prove the global mirror symmetry conjecture for the Fermat polynomials.

研究动机与目标

• 通过全局镜像对称性，证明轨道化 Fermat Calabi-Yau 超曲面的 Landau-Ginzburg/Calabi-Yau 对应关系。
• 通过证明在轨道化商的背景下，Gromov-Witten 不变量为拟模形式，确立其模形式性。
• 在轨道化商的量子 D-模与对偶 Landau-Ginzburg 模型的 FJRW 理论之间构造镜像映射。
• 验证 FJRW 理论的总祖先生成函数与轨道化商的 Gromov-Witten 生成函数之间通过一个量子化辛变换相关联。
• 在 genus 0 与高亏格情形下，证明 A-模型与 B-模型之间配对与对偶子空间的等价性。

提出的方法

• 利用全局 B-模型技术，包括扭曲 de Rham 上同调、Gauss-Manin 连接与高阶留数配对。
• 应用 Givental 的量子化形式化方法，构造量子 D-模的总祖先生成函数与抽象 Fock 纤维丛。
• 通过 toric 设置构造 FJRW 理论中的 I-函数，并利用局部化与图空间技术证明其收敛性。
• 通过证明轨道化 Gromov-Witten 理论与 FJRW 理论的量子 D-模之间存在同构，建立镜像对称性。
• 将 B-模型中的极化形式与 A-模型中的 Poincaré 配对匹配，并验证对偶子空间的相容性。
• 采用归纳法与 I-函数系数结构中的递推关系，证明 J-函数的正则性与重构性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在轨道化 Fermat Calabi-Yau 超曲面的背景下证明 Landau-Ginzburg/Calabi-Yau 对应关系？
• RQ2 Fermat Calabi-Yau 代数簇的轨道化商的 Gromov-Witten 不变量是否为拟模形式？
• RQ3 是否能显式构造并验证轨道化商的量子 D-模与 FJRW 理论之间的镜像映射？
• RQ4 在镜像对称下，A-模型与 B-模型中的对偶子空间与配对如何匹配？
• RQ5 FJRW 理论的总祖先生成函数与轨道化商的 Gromov-Witten 生成函数之间的确切关系是什么？

主要发现

• Landau-Ginzburg/Calabi-Yau 对应关系在轨道化 Fermat Calabi-Yau 超曲面中成立，且 Gromov-Witten 生成函数通过一个量子化辛变换与 FJRW 生成函数相关联。
• Gromov-Witten 不变量的生成函数被证明为拟模形式，证实了轨道化情形下的模形式性猜想。
• FJRW 理论中的 I-函数收敛，并在镜像映射下与轨道化 Gromov-Witten 理论的 J-函数匹配。
• 轨道化商 $[X_W / \tilde{G}]$ 的量子 D-模与 $(W,G)$ 的 FJRW 理论的量子 D-模同构，从而在 D-模层面上确立了镜像对称性。
• B-模型中的极化形式与 A-模型中的 Poincaré 配对匹配，且在镜像映射下对偶子空间相容。
• 当 $\epsilon \to 0$ 时，J-函数的极限为 $-zI^0_{\rm LG}(y,-z)$，其位于 FJRW 理论的拉格朗日锥面上，从而证实了祖先生成函数的重构性。