[论文解读] Grothendieck-Lidskii trace formula for mixed-norm and variable Lebesgue spaces

Julio Delgado, Michael Ruzhansky+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2016

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文建立了加权混合-norm 勒贝格空间、变指数勒贝格空间及其相关调制空间与维尔纳-阿马兰加空间的度量逼近性质，并刻画了这些空间中的核型算子，推导出相应的格罗滕迪克-利德斯凯迹公式。该结果被应用于周期伪微分算子和通过全局符号表示的谐振子函数，给出了基于特征值和符号积分的显式迹公式。

ABSTRACT

In this note we present the metric approximation property for weighted mixed-norm $L_w^{(p_1,\dots ,p_n)}$ and variable exponent Lebesgue type spaces. As a consequence, this also implies the same property for modulation and Wiener-Amalgam spaces. We then characterise nuclear operators on such spaces and state the corresponding Grothendieck-Lidskii trace formulae. We apply the obtained results to derive criteria for nuclearity and trace formulae for periodic operators on $\mathbb R^n$ and functions of the harmonic oscillator in terms of the global symbol.

研究动机与目标

• 建立加权混合-norm 勒贝格空间 $L_w^{(p_1,\dots,p_n)}$ 和变指数勒贝格空间 $L^{p(\cdot)}$ 的度量逼近性质。
• 刻画这些空间上 $r$-核型算子的特征，并推导相应的格罗滕迪克-利德斯凯迹公式。
• 将结果应用于环面 $\mathbb{T}^n$ 上的周期伪微分算子以及通过全局符号表示的谐振子函数。
• 提供核型算子及迹公式的充分条件，条件涉及符号与乘子函数的衰减性与可积性。

提出的方法

• 利用底层测度空间的结构与对偶性论证，证明混合-norm 勒贝格空间的度量逼近性质。
• 运用对偶性与因子分解技术，通过目标空间与对偶空间中满足 $r$ 次幂可 summable 的序列来刻画 $r$-核型算子。
• 应用核型算子理论，将迹公式表示为特征值之和以及符号核的积分。
• 利用环面量化与傅里叶级数表示，分析 $\mathbb{T}^n$ 上符号属于 $\ell^r(\mathbb{Z}^n)$ 的周期算子。
• 利用符号序列的 $\ell^r$-可和性，建立 $L^{p(\cdot)}(\mathbb{T}^n)$ 上形如 $\alpha(x)(I - \Delta)^{-\tau/2}$ 的算子的迹公式。
• 借助格罗滕迪克理论，特别是当 $r \leq 2/3$ 时，建立迹公式与谱性质之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 加权混合-norm 勒贝格空间与变指数勒贝格空间是否具有度量逼近性质？
• RQ2 混合-norm 与变指数勒贝格空间上 $r$-核型算子的刻画为何？
• RQ3 格罗滕迪克-利德斯凯迹公式能否推广至这些函数空间上的算子？
• RQ4 周期伪微分算子在 $\mathbb{T}^n$ 上的核型算子及迹公式的充分条件为何？
• RQ5 在变指数空间中，如何通过全局符号表达谐振子函数的迹？

主要发现

• 加权混合-norm 勒贝格空间 $L_w^{(p_1,\dots,p_n)}$ 与变指数勒贝格空间 $L^{p(\cdot)}$ 具备度量逼近性质。
• 线性算子 $T$ 从 $L^{p(\cdot)}(\mu)$ 到 $L^{q(\cdot)}(\nu)$ 是 $r$-核型算子，当且仅当其可表示为满足 $\sum_n \|g_n\|_{L^{q(\cdot)}}^r \|h_n\|_{L^{p'(\cdot)}}^r < \infty$ 的序列 $g_n \in L^{q(\cdot)}(\nu)$，$h_n \in L^{p'(\cdot)}(\mu)$。
• 当 $r \leq 2/3$ 且 $p^+ < \infty$ 时，$L^{p(\cdot)}(\mu)$ 上的 $r$-核型算子的迹等于其重数特征值之和。
• 当 $\alpha \in L^{p'(\cdot)}(\mathbb{T}^n)$ 且 $\sigma(\xi) \in \ell^r(\mathbb{Z}^n)$ 时，算子 $\alpha T_\sigma$ 在 $L^{p(\cdot)}(\mathbb{T}^n)$ 上是 $r$-核型算子，其迹为 $\int_{\mathbb{T}^n} \alpha(x)\,dx \cdot \sum_{\xi \in \mathbb{Z}^n} \sigma(\xi)$。
• 对于 $\mathbb{T}^n$ 上的算子 $\alpha(I - \Delta)^{-\tau/2}$，当 $r\tau > n$ 时核型成立，其迹为 $\int_{\mathbb{T}^n} \alpha(x)\,dx \cdot \sum_{\xi \in \mathbb{Z}^n} (1 + 4\pi^2|\xi|^2)^{-\tau/2}$。
• 当 $r \leq 2/3$ 且 $p^+ < \infty$ 时，迹等于特征值之和：$\operatorname{Tr}(T) = \sum_{j=1}^\infty \lambda_j$。