[论文解读] Grothendieck ring of pretriangulated categories

Alexey Bondal, Michael Larsen+1 more|ArXiv.org|Jan 2, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用 21

一句话总结

本文为预三角DG范畴引入了一个格罗滕迪克环，通过函子性张量积定义了其交换环结构，该结构可对光滑射影概形上凝聚层导出范畴进行建模。关键贡献在于从代数几何中格罗滕迪克环到该环的动机测度，表明仿射直线的类映射为1，并通过乘积范畴中的核对象证明了标准函子的表示性。

ABSTRACT

We consider the abelian group $PT$ generated by quasi-equivalence classes of pretriangulated DG categories with relations coming from semi-orthogonal decompositions of corresponding triangulated categories. We introduce an operation of "multiplication" $\bullet$ on the collection of DG categories which makes this abelian group into a commutative ring. A few applications are considered: representability of "standard" functors between derived categories of coherent sheaves on smooth projective varieties and a construction of an interesting motivic measure.

研究动机与目标

• 为支持自然乘积运算的三角范畴构造一个格罗滕迪克环。
• 通过使用预三角DG范畴而非三角范畴，克服锥的非函子性问题。
• 从代数几何的格罗滕迪克环到预三角DG范畴的格罗滕迪克环定义一个动机测度。
• 证明光滑射影概形的导出范畴之间的标准正合函子可通过乘积范畴中的核对象表示。

提出的方法

• 定义由预三角DG范畴的拟等价类生成的阿贝尔群 $\mathcal{P}\mathcal{T}$，关系来自半正交分解。
• 通过其DG提升的导出张量积在DG范畴上引入乘法 $\bullet$。
• 证明映射 $X \mapsto I(X)$ 满足乘积性质，其中 $I(X)$ 是光滑射影概形 $X$ 上有下有界内射复形的DG范畴，即 $I(X) \bullet I(Y) \cong I(X \times Y)$。
• 利用该乘积构造环同态 $\mu: K_0[\mathcal{V}_k] \to \Gamma_k$，满足 $[X] \mapsto [I(X)]$，并证明其在商模 $[\mathbb{L}] - 1$ 下仍成立。
• 证明任一由标准提升之间的DG函子导出的正合函子 $F: D(X) \to D(Y)$ 均可通过 $D(X \times Y)$ 中的对象 $P$ 表示，即 $F(-) \cong \mathbb{R}q_*(p^*(-) \otimes^\mathbb{L} P)$。
• 应用导出范畴的爆破公式，通过爆破的导出范畴的半正交分解，将 $[I(X)]$ 与 $[I(Y)]$ 和 $[I(Z)]$ 在格罗滕迪克群中的关系联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为三角范畴的格罗滕迪克环配备一个自然的乘积结构，使其在纤维积下模型为概形的导出范畴？
• RQ2 映射 $X \mapsto D(X)$ 是否可延拓为从代数几何的格罗滕迪克环到预三角DG范畴格罗滕迪克环的环同态？
• RQ3 每个从光滑射影概形的导出范畴到另一导出范畴的正合函子是否都可通过乘积范畴中的核对象表示？
• RQ4 动机测度 $\mu: K_0[\mathcal{V}_\mathbb{C}] \to \Gamma_\mathbb{C}$ 的核是什么？它是否包含 $[\mathbb{L}] - 1$？
• RQ5 导出范畴爆破的半正交分解如何在预三角范畴的格罗滕迪克群中转化为关系？

主要发现

• 由预三角DG范畴的拟等价类构成的格罗滕迪克环 $\Gamma_k$ 在由导出张量积诱导的运算 $\bullet$ 下构成一个交换环。
• 在 $\Gamma_\mathbb{C}$ 中，射影空间 $\mathbb{P}^{d-1}$ 的类为 $d$，此结论由对角线的贝利松分解得出。
• 动机测度 $\mu: K_0[\mathcal{V}_\mathbb{C}] \to \Gamma_\mathbb{C}$ 满足 $\mu([\mathbb{A}^1]) = 1$，因此 $\mu([\mathbb{L}]) = 1$，这意味着 $[\mathbb{L}] - 1$ 属于核。
• 对于沿 $Z$ 在 $Y$ 上的爆破 $X$，在 $\Gamma_k$ 中有关系 $[I(X)] + [I(Z)] = [I(Y)] + [I(E)]$，其中 $E$ 为例外除子。
• 每个由标准提升之间的DG函子导出的正合函子 $F: D(X) \to D(Y)$ 均可通过 $D(X \times Y)$ 中的核对象 $P$ 表示，即 $F(-) \cong \mathbb{R}q_*(p^*(-) \otimes^\mathbb{L} P)$。
• 诱导映射 $\bar{\mu}: K_0[\mathcal{V}_\mathbb{C}]/\langle \mathbb{L} - 1 \rangle \to \Gamma_\mathbb{C}$ 是满射，尽管可能不是单射，但非常接近于单射。