[论文解读] Grothendieck-Serre Conjecture I: Appendix

Ivan Panin, Anastasia Stavrova+1 more|ArXiv.org|Oct 28, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 5

一句话总结

本附录在无限域上建立了关于光滑子簇与超平面横截相交的Bertini型定理，扩展了Artin关于Artin邻域的结果。证明了对于足够高次且包含有限个点的充分一般超平面，其与光滑纯维子簇的交为横截且保持不可约性，从而通过上同调下降与Azumaya代数的Hilbert定理90，支持了Grothendieck–Serre猜想的关键应用。

ABSTRACT

We prove here some supplementary statements that appeared without proof in I. Panin, A. Stavrova, N. Vavilov, On Grothendieck--Serre's conjecture concerning principal $G$-bundles over reductive group schemes:I, arXiv:0905.1418

研究动机与目标

• 将Artin的Bertini型定理推广至无限域上具有指定点的光滑子簇情形。
• 确立一般超平面与光滑子簇相交为横截的条件。
• 证明当余维数小于维数时，此类交集保持不可约性（或几何不可约性）。
• 通过构造合适的邻域并应用上同调下降，支持Grothendieck–Serre猜想的证明。
• 利用Shapiro–Faddeev引理与Azumaya代数的Hilbert定理90，将半局部概形上的主丛平凡化。

提出的方法

• 通过在有限个点上进行射影空间的爆破，构造爆破上一个非常 ample 线丛，从而实现到更高维射影空间的闭嵌入。
• 将在给定点处消失的d次超平面的理想层的全局截面识别为嵌入空间中的超平面。
• 对嵌入的概形应用Artin的横截性结果（[A, Exp. XI] 定理2.1），推导出交的横截性。
• 将次数d增大，以确保在基点上方的点处保持横截性，利用O(d)/I^2(d)的全局截面的满射性。
• 利用Weil限制与Shapiro–Faddeev引理，将P^1上的上同调类与通过有限 étale 覆盖的基变换上的类联系起来。
• 应用Azumaya代数的Hilbert定理90，借助纤维上丛的平凡性与Horrocks关于向量丛的定理，将半局部概形上的主丛平凡化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，足够高次的一般超平面族与光滑子簇横截相交？
• RQ2 在何种条件下，此类交集保持子簇的不可约性（或几何不可约性）？
• RQ3 如何为一个无限域上移除了有限个点的光滑概形构造合适的Artin邻域？
• RQ4 能否通过上同调下降技术与Hilbert定理90，将P^1上取值于半单群概形的主丛平凡化？
• RQ5 在Grothendieck–Serre猜想的背景下，Weil限制在从基提升上同调类到有限覆盖时起什么作用？

主要发现

• 对任意无限域k，P^n_k中的有限个闭点，以及P^n_k中满足V' ⊂ V ⊂ P^n_k的光滑纯维子簇V'，存在整数d，使得对包含这些点的充分一般d次超平面，其与V'的交为横截。
• 若V不可约（或几何不可约）且s < r = dim V，则对相同的d与一般超平面，交Y ∩ V亦不可约（或几何不可约）。
• 通过爆破与非常ample性构造嵌入，确保在代数闭包上横截性蕴含在基域上横截性。
• P^1 ×_U V上的丛F是平凡的，因为其在纤维上平凡，且对应的向量丛由Horrocks定理知为平凡。
• 半局部基V上Azumaya代数上同调类的平凡性意味着H-丛F是从V拉回的，因此是平凡的。
• 原始的G-丛E在P^1上是从基U上的G-丛拉回的，从而证明了Grothendieck–Serre猜想中关键的下降步骤。