[论文解读] Ground state degeneracy in quantum spin systems protected by crystal symmetries

Yang Qi, Chen Fang+1 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2017

Advanced NMR Techniques and Applications被引用 8

一句话总结

本文建立了一项新定理，证明在具有点群 $\mathbb{D}_{2,4,6}$ 对称中心的二维量子自旋系统中，位于这些中心的半整数自旋会表现出仅由晶格对称性保护的基态 degeneracy。与 Lieb-Schultz-Mattis 定理不同，该结果即使在每个原胞中包含偶数个半整数自旋时依然成立，且不依赖自旋旋转或时间反演对称性，为识别量子自旋液体中的拓扑序或对称性破缺相提供了新判据。

ABSTRACT

We develop a no-go theorem for two-dimensional bosonic systems with crystal symmetries: if there is a half-integer spin at a rotation center, where the point-group symmetry is $\mathbb D_{2,4,6}$, such a system must have a ground-state degeneracy protected by the crystal symmetry. Such a degeneracy indicates either a broken-symmetry state or a unconventional state of matter. Comparing to the Lieb-Schultz-Mattis Theorem, our result counts the spin at each rotation center, instead of the total spin per unit cell, and therefore also applies to certain systems with an even number of half-integer spins per unit cell.

研究动机与目标

• 基于晶格对称性（特别是点群对称性）建立二维量子自旋系统中基态简并度的新判据。
• 通过摆脱对每个原胞总自旋和内部对称性的依赖，将无解定理的适用范围扩展至 Lieb-Schultz-Mattis 框架之外。
• 识别出每个原胞中包含偶数个半整数自旋但仍表现出对称性保护基态简并度的系统。
• 为在真实材料（如平面型钙钛矿结构）中探测拓扑量子自旋液体提供理论基础。
• 通过将一维 Haldane 自旋链作为构建单元，将简并度与三维对称性保护拓扑序表面态联系起来。

提出的方法

• 作者分析了自旋自由度在点群操作 $\mathbb{D}_{2,4,6}$ 下的变换性质，表明半整数自旋在这些群下表现为投影表示。
• 定义了一个 $\mathbb{Z}_2$ 指标 $\nu_a = \pm 1$，用于分类在每个对称中心处多体希尔伯特空间是否构成点群的线性或投影表示。
• 证明依赖于：在对称等价位点上，希尔伯特空间的乘积必须统一变换；若群乘法规则与自旋变换算符不匹配，则导致投影表示。
• 该论证首先在具有壁纸群 p2mm 的矩形晶格上建立，随后推广至其他具有 $\mathbb{D}_{2,4,6}$ 对称中心的二维晶格。
• 通过将二维系统映射为由一维 Haldane 链构成的三维 SPT 相的表面，建立了与三维对称性保护拓扑序的联系。
• 补充材料中提供了包括投影表示分类在内的数学证明细节。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以仅基于晶格对称性（而不依赖自旋旋转或时间反演对称性）保证二维量子自旋系统中基态简并度的存在？
• RQ2 当每个原胞中总自旋为偶数时，位于 $\mathbb{D}_{2,4,6}$ 对称中心的半整数自旋是否仍必然导致基态简并度？
• RQ3 与 Lieb-Schultz-Mattis 定理相比，该新定理在适用于每个原胞中包含偶数个半整数自旋的系统时，其适用范围有何扩展或不同？
• RQ4 这种对称性保护的简并度是否可理解为三维对称性保护拓扑相的表面态？
• RQ5 该定理对量子自旋液体中任意任何任何统计和对称性分数化施加了何种约束？

主要发现

• 在二维晶格中，若半整数自旋位于 $\mathbb{D}_{2,4,6}$ 对称中心，则无论每个原胞的总自旋为何，均必然导致基态简并度。
• 该定理适用于每个原胞中包含偶数个半整数自旋的系统，例如具有 $\mathrm{p4mm}$ 对称性的棋盘格晶格，此时 LSM 定理不再适用。
• 基态简并度仅由晶格对称性保护，不依赖自旋旋转或时间反演对称性，因此适用于具有自旋-轨道耦合的系统。
• 该简并度可理解为三维对称性保护拓扑相的表面态，其中半整数自旋充当一维 Haldane 链的边缘模式。
• 该结果解释了为何在 $\mathbb{D}_3$ 对称中心处具有自旋-1/2 的蜂窝晶格中不存在唯一的对称基态，因为 $\mathbb{D}_3$ 没有非平凡的投影表示。
• 该定理为量子自旋液体中任何子的对称性分数化模式提供了新约束，特别是对承载 $\mathbb{D}_{2,4,6}$ 投影表示的任何子。