[论文解读] Ground-state energy and frustration of the Sherrington-Kirkpatrick model and related models

S. Kobe|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2003

Theoretical and Computational Physics参考文献 2被引用 6

一句话总结

本论文利用分支定界算法对自旋玻璃模型的Sherrington-Kirkpatrick（SK）模型进行了精确的数值基态计算，自旋数最多达到N=90，确定了基态能量每自旋为e⁰∞ = -0.7637 ± 0.0004。论文引入了一个失配参数以量化自旋玻璃的几何阻挫，并表明SK模型（x=0.5）在铁磁相（x<0.5）与自旋玻璃相（x>0.5）之间起到相变点的作用，确认在热力学极限下最大阻挫对应于μ₀=0.5。

ABSTRACT

Exact ground states are calculated for the Sherrington-Kirkpatrick (SK) spin-glass containing up to N=90 spins. A ground-state energy per spin $e^{\infty}_0 = - 0.7637 \pm 0.0004$ is found from the $N$ dependence of the misfit parameter, which is a measure of frustration of the system. The results are compared with those of two related models, which can be introduced by replacing all interactions of the SK model by ferromagnetic or antiferromagnetic ones of the same strengths. A parameter $x$ is introduced, which describes the fraction of antiferromagnetic interactions in these types of models. From the $x$ dependence of finite models it is concluded, that the the SK model $(x=0.5)$ assigns a transition between a ferromagnetic state $(x&lt;0.5)$ to a spin-glass state $(x&gt;0.5)$.

研究动机与目标

• 计算自旋数最多为N=90的Sherrington-Kirkpatrick（SK）自旋玻璃模型的精确基态能量。
• 利用失配参数μ₀量化SK模型及相关体系中的阻挫程度。
• 通过调节反铁磁相互作用的比例x，研究铁磁相与自旋玻璃相之间的相变行为。
• 验证有限尺寸标度行为，并与解析预测及先前的近似研究进行比较。
• 为测试自旋玻璃物理中近似算法提供基准数据。

提出的方法

• 使用分支定界算法对离散非线性优化问题进行精确基态计算。
• SK模型的哈密顿量通过从均值为零、方差为1的高斯分布中抽取的 quenched 随机耦合J_ij 定义。
• 采用失配参数μ₀ = ½(1 - e₀/e₀^{id})，其中e₀^{id}为完全铁磁体系的理想基态能量，其随N^{1/2}缩放。
• 采用有限尺寸标度假设e₀^{(N)} = e⁰∞ + bN^{-ω}，其中ω=2/3或ω=0.671，对每自旋基态能量进行标度分析。
• 通过调节反铁磁相互作用比例x，引入一族模型，其中J_ij的分布为xδ(J_ij + |G_ij|) + (1−x)δ(J_ij − |G_ij|)。
• 计算有限系统中失配参数μ₀随x的变化，并外推至热力学极限N→∞。

实验结果

研究问题

• RQ1 在热力学极限下，SK模型的精确基态能量每自旋是多少？与解析预测相比如何？
• RQ2 失配参数μ₀如何量化SK模型及相关体系在不同x值下的阻挫程度？
• RQ3 SK模型（x=0.5）是否代表铁磁相与自旋玻璃相之间的相变点？如果是，这在μ₀随x的变化中如何体现？
• RQ4 SK模型及完全连通反铁磁体系的基态能量及其涨落的有限尺寸标度假设行为如何？
• RQ5 SK模型及相关模型的结果与混合遗传算法等近似算法的结果相比如何？

主要发现

• SK模型的基态能量每自旋在热力学极限下收敛于e⁰∞ = -0.7637 ± 0.0004，与解析结果e⁰_{RSB} = -0.76321高度吻合。
• SK模型中失配参数μ₀达到0.5，证实其为最大阻挫体系，原因在于基态能量为O(1)，而理想铁磁能量为O(N^{1/2})。
• SK模型作为临界点：当x < 0.5时，基态为铁磁性；当x > 0.5时，基态为自旋玻璃样，且在热力学极限下μ₀ = 0.5。
• 有限系统中失配参数μ₀随x的变化数据表明在x=0.5处发生相变，且在N→∞极限下，μ₀(x) = x（当x < 0.5时），μ₀(x) = 0.5（当x ≥ 0.5时）。
• 基态能量的标准差按σ ∝ N^{-ρ}缩放，SK模型中ρ ≈ 0.72，接近Palassini的结果ρ ≈ 3/4。
• 对于完全连通反铁磁体系（x=1），无限大体系的基态能量估计为e⁰_{afm} = -0.474，ρ_{afm} = 0.74 ± 0.03，表明其有限尺寸标度假设行为与SK模型不同。