[论文解读] Ground state forms of 1D symmetry protected topological phases and their utility as resource states for measurement based quantum computation

Abhishodh Prakash, Tzu-Chieh Wei|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2014

Quantum and electron transport phenomena被引用 1

一句话总结

本文提出了一种通用形式化方法，用于约束由任意有限对称群保护的一维对称保护拓扑（SPT）相的基态形式，扩展了先前关于 Z2×Z2 对称自旋-1链的研究。它识别出 A4 对称哈密顿量，其基态为支持恒等门和任意单量子比特量子门的 AKLT 态，确立了其作为测量型量子计算通用资源态的实用性。

ABSTRACT

The program of classifying symmetry protected topological (SPT) phases in 1D has been recently completed and has opened the doors to study closely the properties of systems belonging to these phases. It was recently found that being able to constrain the form of ground states of SPT order based on symmetry properties also allows to explore novel resource states for processing of quantum information. In this paper, we generalize the consideration of Else et al. [Phys. Rev. Lett. {\bf 108}, 240505 (2012)] where it was shown that the ground-state form of spin-1 chains protected by $\mathbb{Z}_2 imes \mathbb{Z}_2$ symmetry supports perfect operation of the identity gate, important also for long-distance transmission of quantum information. We develop a formalism to constrain the ground-state form of SPT phases protected by any arbitrary finite symmetry group and use it to examine examples of ground states of SPT phases protected by various finite groups for similar gate protections. We construct a particular Hamiltonian invariant under $A_4$ symmetry transformation which is one of the groups that allows protected identity operation and examine its ground states. We find that there is an extended region where the ground state is the AKLT state, which not only supports the identity gate but also arbitrary single-qubit gates.

研究动机与目标

• 将 SPT 相基态的分类从 Z2×Z2 对称性扩展至任意有限群。
• 识别哪些 SPT 相支持受保护的量子门操作，特别是恒等门。
• 确定此类 SPT 相是否可作为测量型量子计算的通用资源态。
• 构建并分析一个 A4 对称哈密顿量，其基态支持通用单量子比特门。

提出的方法

• 基于哈密顿量的对称群构建约束基态波函数的形式化方法。
• 利用群表示理论对任意有限对称群下的可能基态形式进行分类。
• 构造一个在 A4 群变换下不变的哈密顿量，保持 SPT 顺序。
• 分析 A4 对称哈密顿量的相图，识别基态为 AKLT 态的区域。
• 通过测量型量子计算协议验证 AKLT 基态可支持恒等门和任意单量子比特门。
• 利用 AKLT 态的已知性质，证明其在 A4 对称下作为资源态的通用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维 SPT 相中，哪些有限对称群的基态支持受保护的恒等门操作？
• RQ2 由非阿贝尔群（如 A4）保护的 SPT 相的基态是否可支持通用单量子比特量子门？
• RQ3 AKLT 态是否作为 A4 对称哈密顿量稳定相中的基态出现？
• RQ4 对称性结构如何约束此类系统中基态波函数的形式？
• RQ5 具有非阿贝尔对称群的 SPT 相是否可作为测量型量子计算的通用资源态？

主要发现

• A4 对称哈密顿量支持一个稳定相，其基态为 AKLT 态，相图分析已确认此结果。
• 该系统中 AKLT 基态支持完美的恒等门操作，扩展了先前关于 Z2×Z2 对称性的结果。
• 除恒等门外，A4 对称模型中的 AKLT 态还支持任意单量子比特量子门，表明其在测量型量子计算中具有通用性。
• 该形式化方法成功将基态形式的约束推广至任意有限对称群，实现了候选资源态的系统性识别。
• 在 A4 对称哈密顿量的参数空间中识别出一个扩展区域，其基态保持为 AKLT 态，确保了计算特性的鲁棒性。