[论文解读] Ground state preparation and energy estimation on early fault-tolerant quantum computers via quantum eigenvalue transformation of unitary matrices

Yulong Dong, Lin Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新型量子算法——酉矩阵的量子本征值变换（QET-U），可在仅使用单个辅助量子比特和受控哈密顿量演化的情况下，利用早期容错量子计算机实现基态制备与能量估算，避免了昂贵的多量子比特控制操作。该方法实现了接近最优的查询复杂度，同时显著降低电路深度，在实际硬件约束下优于以往方法。

ABSTRACT

Under suitable assumptions, the algorithms in [Lin, Tong, Quantum 2020] can estimate the ground state energy and prepare the ground state of a quantum Hamiltonian with near-optimal query complexities. However, this is based on a block encoding input model of the Hamiltonian, whose implementation is known to require a large resource overhead. We develop a tool called quantum eigenvalue transformation of unitary matrices with real polynomials (QET-U), which uses a controlled Hamiltonian evolution as the input model, a single ancilla qubit and no multi-qubit control operations, and is thus suitable for early fault-tolerant quantum devices. This leads to a simple quantum algorithm that outperforms all previous algorithms with a comparable circuit structure for estimating the ground state energy. For a class of quantum spin Hamiltonians, we propose a new method that exploits certain anti-commutation relations and further removes the need of implementing the controlled Hamiltonian evolution. Coupled with Trotter based approximation of the Hamiltonian evolution, the resulting algorithm can be very suitable for early fault-tolerant quantum devices. We demonstrate the performance of the algorithm using IBM Qiskit for the transverse field Ising model. If we are further allowed to use multi-qubit Toffoli gates, we can then implement amplitude amplification and a new binary amplitude estimation algorithm, which increases the circuit depth but decreases the total query complexity. The resulting algorithm saturates the near-optimal complexity for ground state preparation and energy estimating using a constant number of ancilla qubits (no more than 3).

研究动机与目标

• 解决基于块编码的方法在早期容错量子计算机上进行基态制备与能量估算时资源开销过高的问题。
• 提出一种基于受控哈密顿量演化的实用输入模型，以减少电路深度和辅助量子比特需求。
• 仅使用一个辅助量子比特和无需多量子比特控制门，实现高效的基态能量估算与态制备。
• 通过利用反对易关系，优化稀疏量子自旋哈密顿量的算法，以消除受控哈密顿量演化需求。
• 通过Qiskit仿真在横向场伊辛模型上展示该算法的可行性和性能。

提出的方法

• 提出基于实系数多项式的酉矩阵量子本征值变换（QET-U），用于变换由哈密顿量演化导出的酉矩阵的本征值。
• 仅使用一个辅助量子比特和受控时间演化 $ U = e^{-i\tau H} $ 作为输入，避免了块编码和多量子比特控制操作的需求。
• 通过受控旋转协议实现该算法，将能量信息编码在辅助量子比特的测量概率中。
• 利用基于Trotter的哈密顿量演化近似，使该方法适用于近中期容错设备。
• 当存在多量子比特Toffoli门时，集成振幅放大与一种新型二进制振幅估计算法，以降低总查询复杂度。
• 利用测量结果的边缘概率，通过泡利期望值的带符号线性组合计算基态能量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在早期容错设备上，以接近最优的查询复杂度，同时最小化电路深度和辅助量子比特使用量，实现基态能量估算与制备？
• RQ2 受控哈密顿量演化模型能否替代块编码，以减少量子算法中的资源开销？
• RQ3 特定哈密顿量（如横向场伊辛模型）中的反对易关系能否被利用以消除受控演化的需求？
• RQ4 在真实量子硬件约束下，QET-U算法在查询复杂度和电路深度方面与以往方法相比表现如何？
• RQ5 能否仅通过测量数据的边缘概率，无需完整态层析，高效计算能量估算？

主要发现

• QET-U算法仅使用一个辅助量子比特和无需多量子比特控制门，即可实现基态能量估算与制备的接近最优查询复杂度。
• 对于横向场伊辛模型，该算法通过测量两个电路的边缘概率实现能量估算：一个用于基态，另一个在所有量子比特上应用HadamarD门后测量。
• 与基于块编码的方法相比，该方法显著降低了电路深度，使其更适合相干时间有限的早期容错设备。
• 通过利用特定哈密顿量中的反对易关系，成功消除了受控哈密顿量演化的需求，进一步简化了电路结构。
• 当存在Toffoli门时，振幅放大与新型二进制振幅估计算法的结合降低了总查询复杂度，尽管电路深度有所增加。
• 使用Qiskit进行的数值结果表明，该算法在横向场伊辛模型上表现良好，基态能量可准确地从测量频率和边缘概率中估算得出。