[论文解读] Ground states and high energy solutions of the planar Schrödinger-Poisson system

Miao Du, Tobias Weth|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 9被引用 5

一句话总结

该论文在非平移不变范数下，通过一种新颖的方法克服了变分框架中的关键缺陷，证明了在次临界指数 $2 < p < 4$ 条件下，平面薛定谔-泊松系统的基态解和无穷多个变号高能解的存在性。作者在加权Sobolev空间 $X$ 中利用群论对称性约化和紧致性论证，建立了这些结果。

ABSTRACT

In this paper, we are concerned with the Schrödinger-Poisson system \begin{equation} (0.1)\qquad -Δu + u +ϕu = |u|^{p-2}u \quad ext{in}\ \mathbb{R}^{d},\qquad Δϕ= u^{2} \quad ext{in}\ \mathbb{R}^{d}. \end{equation} Due to its relevance in physics, the system has been extensively studied and is quite well understood in the case $d \ge 3$. In contrast, much less information is available in the planar case $d=2$ which is the focus of the present paper. It has been observed by Cingolani and the second author \cite{Cingolani-Weth-2016} that the variational structure of $(0.1)$ differs substantially in the case $d=2$ and leads to a richer structure of the set of solutions. However, the variational approach of \cite{Cingolani-Weth-2016} is restricted to the case $p \ge 4$ which excludes some physically relevant exponents. In the present paper, we remove this unpleasant restriction and explore the more complicated underlying functional geometry in the case $2

研究动机与目标

• 解决平面薛定谔-泊松系统在 $2 < p < 4$ 范围内缺乏存在性结果的问题，该范围在先前工作中被排除，具有物理相关性。
• 克服在空间 $X = \{u \in H^1(\mathbb{R}^2) : \int \log(1+|x|)u^2 dx < \infty\}$ 中变分框架的局限性，该空间中由于缺乏强制性和平移不变性，标准紧致性失效。
• 建立对数卷积势能情形下基态解和无穷多个非径向变号解的存在性。
• 提出一种新的变分方法，以处理 $2 < p < 4$ 条件下能量泛函中局部与非局部项的竞争尺度行为。
• 将 Cingolani 和 Weth [6] 的结果从 $p \geq 4$ 扩展至包含物理上相关情形 $p=3$ 的情况。

提出的方法

• 将薛定谔-泊松系统在加权希尔伯特空间 $X$ 中表述为变分问题，其中对数势能 $\Phi_2(x) = \frac{1}{2\pi}\log|x|$ 定义了非局部项。
• 通过考虑由 $\pi/3^n$-旋转生成的 $O(2)$ 子群 $G_n \subset O(2)$（阶为 $2 \cdot 3^n$），实施群论对称性约化，并定义 $G$-不变函数的子空间 $X_G$。
• 在 $X_G$ 中应用修改后的Cerami序列论证，以建立有界性与收敛性，利用群 $G$ 的紧致性及不动点集 $\text{Fix}(G)$。
• 证明 $X_G$ 中的Cerami序列在平移与群平均后有强收敛性，利用非平移不变范数及对数卷积的结构。
• 利用能量泛函在 $G_n$ 下的不变性及嵌套结构 $X_{G_{n+1}} \subset X_{G_n}$，构造出节点复杂度递增的解序列。
• 通过反证法证明非平凡极限解的存在性，表明任何极限都必须恒为零，从而证明能量水平无界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $2 < p < 4$ 条件下，能否为平面薛定谔-泊松系统建立基态解的存在性？此前由于变分框架崩溃，该范围被排除。
• RQ2 尽管缺乏强制性和平移不变性，能量泛函 $I$ 在空间 $X$ 中对于 $2 < p < 4$ 是否仍存在有界Cerami序列？
• RQ3 能否使用基于对称性的变分方法，在 $2 < p < 4$ 的平面情形下构造出无穷多个非径向变号解？
• RQ4 在 $2 < p < 4$ 条件下，如何在变分框架中调和局部 $|u|^p$ 项与非局部 $\Phi_2 * |u|^2$ 项的竞争尺度行为？
• RQ5 是否能够将高能解的存在性结果从 $p \geq 4$ 扩展至包含物理上相关情形 $p=3$ 的情况？

主要发现

• 该论文在加权空间 $X$ 中证明了平面薛定谔-泊松系统在 $2 < p < 4$ 条件下基态解的存在性，解决了文献中长期存在的空白。
• 论文建立了无穷多个非径向变号解的存在性，其节点域数量可任意多，每个解的能量水平为 $c_{mp,G_n}$，且当 $n \to \infty$ 时趋于无穷。
• 作者证明了对于序列 $u_n \in X_{G_n}$，有 $\limsup_{n \to \infty} I(u_n) = \infty$，确认了这些解的高能性质。
• 证明依赖于一种新颖的紧致性论证，通过群平均与不动点集恢复了序列紧致性，尽管范数非平移不变。
• 该方法通过利用对称性及二维情形下对数势能的结构 $\Phi_2(x) = \frac{1}{2\pi}\log|x|$，成功处理了局部与非局部项的竞争尺度行为。
• 通过反证法导出矛盾：任何此类解的极限都必须恒为零，这是由于旋转对称性高度稠密，从而证明能量水平无界。