[论文解读] Groundstates for nonlinear fractional Choquard equations with general nonlinearities

Zifei Shen, Fashun Gao+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 12被引用 4

一句话总结

该论文通过变分法在 Berestycki-Lions 型条件下建立了非线性分数阶 Choquard 方程基态解的存在性。通过利用 $s$-调和延拓和集中紧致性方法，证明了基态解的存在性、正性、径向对称性以及在无穷远处的衰减性，将经典结果推广至具有广义非线性的非局部分数阶情形。

ABSTRACT

We study the following nonlinear Choquard equation driven by a fractional Laplacian: $$ (-Δ)^{s}u+ u =(|x|^{-μ}\ast F(u))f(u)|{4.14mm}{in}|{1.14mm} \mathbb{R}^N, $$ with $N\geq3$, $s\in(0,1)$ and $μ\in(0,N)$. By Supposing that the nonlinearities satisfy the general Berestycki-Lions type conditions \cite{BL}, we are able to prove the existence of groundstates for this equation by variational methods.

研究动机与目标

• 建立由分数阶拉普拉斯驱动的非线性分数阶 Choquard 方程在广义非线性情形下的基态解存在性。
• 将 Berestycki-Lions 型条件推广至非局部分数阶情形，并验证其适用性。
• 在这些广义条件下，证明基态解为正、径向对称，并在无穷远处衰减。
• 在非线性项的假设尽可能弱的前提下，将经典 Choquard 方程的先前结果推广至分数阶拉普拉斯情形。

提出的方法

• 利用 $s$-调和延拓技术，将非局部分数阶问题转化为高一维空间中的局部问题。
• 对与方程相关的能量泛函应用变分法，结合 Nehari 流形和山路几何结构。
• 采用集中紧致性原理，克服因非局部算子导致的 $H^s(\mathbb{R}^N)$ 中紧致性缺失的问题。
• 运用极化和对称递减重排技术，证明基态的径向对称性。
• 依赖 Berestycki-Lions 型条件：$f(0) = 0$，$f(u)/u \to 0$ 当 $u \to 0$，且 $f(u)/u \to \infty$ 当 $u \to \infty$，并满足适当的 Ambrosetti-Rabinowitz 型条件。
• 通过 $H^s(\mathbb{R}^N)$ 中的强收敛性，证明基态集 $G_c$ 在平移意义下是紧致的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非线性项满足 Berestycki-Lions 条件的广义情形下，分数阶 Choquard 方程是否存在基态解？
• RQ2 在非局部分数阶情形下，能否建立正的、径向对称基态解的存在性？
• RQ3 在广义非线性条件下，此类基态解在无穷远处的衰减行为如何？
• RQ4 分数阶拉普拉斯的非局部性质如何影响变分结构及极小化序列的紧致性？
• RQ5 基态集 $G_c$ 在 $H^s(\mathbb{R}^N)$ 中是否在平移意义下紧致？

主要发现

• 在非线性项满足广义 Berestycki-Lions 型条件时，分数阶 Choquard 方程的基态解存在。
• 基态解为正、径向对称，且关于 $|x|$ 严格递减，这是由极化和重排论证得出的结论。
• 在给定条件下，基态解在无穷远处以 $|x|^{-(N+2s)}$ 的速率衰减。
• 由于极小化序列的强收敛性，基态集 $G_c$ 在 $H^s(\mathbb{R}^N)$ 中在平移意义下是紧致的。
• 能量泛函在 Nehari 流形上达到下确界，证实存在一个极小化元，即基态解。
• $s$-调和延拓方法使得非局部问题可被视作 $\mathbb{R}^{N+1}_+$ 中的局部问题，从而能够应用标准变分工具。