[论文解读] Group actions and Helly's theorem

Benson Farb|ArXiv.org|Jun 10, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用 9

一句话总结

本文引入了性质 $\operatorname{FA}_r$，作为 Serre 性质 $\operatorname{FA}$ 的推广，用于建立群作用在 $r$-维 $\operatorname{CAT}(0)$ 空间上的不动点定理。通过将群生成元的组合结构与凸集上的 Helly 定理联系起来，作者证明了 $S$-算术群以及环 $\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_d]$ 上的 Chevalley 群在维度至多为 $r-2$ 时具有强不动点性质，且通过在仿射 building 上的作用展示了紧确的界。

ABSTRACT

We describe a connection between the combinatorics of generators for certain groups and the combinatorics of Helly's 1913 theorem on convex sets. We use this connection to prove fixed point theorems for actions of these groups on nonpositively curved metric spaces. These results are encode d in a property that we introduce called ``property $\FA_r$'', which reduces to Serre's property $\FA$ when $r=1$. The method applies to $S$-arithmetic groups in higher $\Q$-rank, to simplex reflection groups (including some non-arithmetic ones), and to higher rank Chevalley groups over polynomial and other rings (for example $\SL_n(\Z[x_1,..., x_d]), n>2$).

研究动机与目标

• 将 Serre 的性质 $\operatorname{FA}$ 推广至群作用在 $\operatorname{CAT}(0)$ 空间上的高维不动点定理。
• 填补高秩群在复形上作用（超越树）时在中间维度上的不动点理论空白。
• 为 $S$-算术群和 Chevalley 群在环上的不动点性质建立紧确的维数界。
• 开发一种新方法，利用幂零生成元的组合性质与 Helly 定理，适用于非格子群。

提出的方法

• 将性质 $\operatorname{FA}_r$ 引入为 Serre 的 $\operatorname{FA}$ 的推广，要求在 $r$-维 $\operatorname{CAT}(0)$ 复形中存在全局不动点。
• 利用凸集上的 Helly 定理，证明若 $r+1$ 个凸集在 $r$-维 $\operatorname{CAT}(0)$ 空间中两两相交非空，则它们的总交集也非空。
• 将该方法应用于由 $r+1$ 个有限生成幂零子群生成的群，每个子群均有不动点，且在幂零子群的交换子群中满足元素幂的条件。
• 利用 Chevalley 群生成元的组合性质，特别是 $r^p \in [U,U]$ 对某个幂零子群 $U$ 成立，以确保单个元素和子群的不动点。
• 使用强 $\operatorname{FA}_n$ 性质，要求在 $n$-维 $\operatorname{CAT}(0)$ 空间中具有不动点，且作用为半单的，且在开集上 $n$-阶同调群消失。
• 应用 Bruhat-Tits 不动点定理于反射群的顶点稳定子，证明其不动集构成一个同胚于 $n$-单形的骨架，从而支持 Helly 型交集论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 $S$-算术群在更高 $k$-秩下是否能在维度小于 $r-2$ 的 $\operatorname{CAT}(0)$ 复形上无不动点地作用？
• RQ2 高秩 Chevalley 群如 $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_d])$ 是否允许在维度 $m < n-1$ 的 $\operatorname{CAT}(0)$ 复形上存在非平凡作用？
• RQ3 $S$-算术群的不动点性质的维数界 $r-2$ 是否紧确？
• RQ4 能否在维度小于 $n-1$ 的复形中实现 $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p])$ 的不动点性质？
• RQ5 Chevalley 群中幂零生成元的组合结构是否通过 Helly 型定理暗示不动点行为？

主要发现

• $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$ 在 $n \geq 3$ 时具有强 $\operatorname{FA}_n$，即在任意 $n$-维 $\operatorname{CAT}(0)$ 空间中均固定一点。
• 当 $n \geq 3$ 时，$\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$ 或 $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p])$ 的任意有限指数子群具有强 $\operatorname{FA}_{n-2}$，且该界是紧确的。
• 与 $k$-群 $G$ 关联的 $S$-算术群 $\Gamma$，若其 $k$-秩为 $r \geq 2$，则具有强 $\operatorname{FA}_{r-2}$，推广了 Margulis 和 Serre 的结果。
• 在有限生成交换环上，秩为 $r \geq 2$ 的 Chevalley 群 $E(\Phi,R)$ 满足强 $\operatorname{FA}_{r-1}$，扩展了 Fukunaga 的 $\operatorname{FA}_1$ 结果。
• $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z}[1/p])$ 在 $\mathbb{Q}_p$ 上的 $n-1$-维仿射 building 上的作用表明 $\operatorname{FA}_{n-2}$ 是紧确的，因为在更低维中不存在不动点。
• 对于在 $\mathbb{R}^n$ 或 $\mathbb{H}^n$ 中的 $n$-单形上的反射群，其顶点稳定子的不动集构成一个同胚于 $n$-单形的骨架，且 Helly 定理保证在维数 $m < n$ 时存在全局不动点。