[论文解读] Group Actions on Banach Spaces

Piotr W. Nowak|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 78被引用 13

一句话总结

本文综述了群作用于非希尔伯特巴拿赫空间时的不动点性质的最新进展，将卡兹丹的 (T) 性质扩展至希尔伯特空间之外。研究证明，双曲群在 $L_p$-空间上存在适当的仿射等距作用，其中 $p \geq \hbar(G)$，并进一步证明当 $p \geq 4n+2$ 时，群 $\mathrm{Sp}(n,1)$ 在 $L_p$ 上具有不动点性质，表明在非希尔伯特设置下，不动点性质严格强于上同调推广的 (T) 性质。

ABSTRACT

We survey the recent developments concerning fixed point properties for group actions on Banach spaces. In the setting of Hilbert spaces such fixed point properties correspond to Kazhdan's property (T). Here we focus on the general, non-Hilbert case, we discuss the methods, examples and several applications.

研究动机与目标

• 将卡兹丹的 (T) 性质理论从希尔伯特空间推广至一般巴拿赫空间。
• 研究非希尔伯特巴拿赫空间上仿射等距群作用的不动点存在性。
• 厘清非希尔伯特设置下不动点性质与上同调消去之间的关系。
• 探讨不动点性质与巴拿赫空间上度量正规作用之间的相互作用。
• 解决微分同胚群与映射类群在一致凸巴拿赫空间上作用的开放问题。

提出的方法

• 使用群上同调与余胞技巧，将不动点问题转化为上同调消去条件。
• 应用明家的平均化构造，构建离散化的切向量以构造正规余胞。
• 利用双曲边界上的视觉度量定义 $G$-不变测度，并构造 $L_p$-余胞。
• 利用马祖尔映射与几乎不变向量分析 $p \in [1,2)$ 时 $L_p$-空间中的不动点谱。
• 应用谱准则与一致有界性研究自反巴拿赫空间中的不动点性质。
• 使用共形维数与双曲维数确定 $L_p$-空间上正规作用的阈值。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个非初等双曲群是否在 $p \geq \hbar(G)$ 时都存在 $L_p$-空间上的正规仿射等距作用？
• RQ2 对于 $p \neq 2$，$L_p$-空间上的不动点性质是否严格强于卡兹丹 (T) 性质的上同调推广？
• RQ3 紧流形微分同胚群的有限生成子群是否可在一致凸巴拿赫空间上存在正规仿射等距作用？
• RQ4 曲面的映射类群是否在足够大的 $p$ 下存在 $L_p$-空间上的正规仿射等距作用？
• RQ5 在非希尔伯特巴拿赫空间中，相对不动点性质与相对 (T) 性质之间有何关系？

主要发现

• 当 $p \geq 4n+2$ 时，群 $\mathrm{Sp}(n,1)$ 在 $L_p(G)$ 上具有不动点性质，表明在非希尔伯特设置下，不动点性质严格强于上同调推广的 (T) 性质。
• 通过余弦平均化构造，双曲群在 $L_p(G \times G)$ 上存在正规仿射等距作用，其中 $p \geq 2$。
• 对非初等双曲群而言，对所有 $p \geq \hbar(G)$，其在 $L_p(\partial G \times \partial G)$ 上存在正规作用，其中 $\hbar(G)$ 为双曲维数。
• 在 $L_p$-空间上，若存在正规余胞（$p \geq \hbar(G)$），则不动点谱 $\mathcal{F}(G)$ 有界，且该界是紧的。
• 当 $p \in [1,2)$ 时，不动点谱可能无界，此时马祖尔映射与几乎不变向量是分析此情形的关键工具。
• 边界 $\partial G$ 的共形维数决定了 $\ell_p$-上同调非零的阈值，从而影响正规作用的存在性。