[论文解读] Group actions on graphs and $C^*$-correspondences

Valentin Deaconu|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文建立了群作用在 $C^*$-对应关系上与陈-平斯纳代数中交叉积和固定点代数结构之间的对应关系。通过引入由张量表示的互换子构造的多普利切尔-罗伯茨代数，证明了在适当条件下，紧致群作用下 $C^*$-对应关系的固定点代数同构于该代数，且交叉积与之强莫里塔等价。关键结果是：对于离散、局部有限图上的有限群作用，交叉积同构于 $C^*$-对应关系图，且稳定同构于图代数，从而可进行 $K$-理论计算。

ABSTRACT

If $G$ acts on a $C^*$-correspondence ${\mathcal H}$, then by the universal property $G$ acts on the Cuntz-Pimsner algebra ${\mathcal O}_{\mathcal H}$ and we study the crossed product ${\mathcal O}_{\mathcal H} times G$ and the fixed point algebra ${\mathcal O}_{\mathcal H}^G$. Using intertwiners, we define the Doplicher-Roberts algebra ${\mathcal O}_ρ$ of a representation $ρ$ of a compact group $G$ on ${\mathcal H}$ and prove that ${\mathcal O}_{\mathcal H}^G$ is isomorphic to ${\mathcal O}_ρ$. When the action of $G$ commutes with the gauge action on ${\mathcal O}_{\mathcal H}$, then $G$ acts also on the core algebras ${\mathcal O}_{\mathcal H}^{\mathbb T}$, where $\mathbb T$ denotes the unit circle. We give applications for the action of a group $G$ on the $C^*$-correspondence ${\mathcal H}_E$ associated to a directed graph $E$. If $G$ is finite and $E$ is discrete and locally finite, we prove that the crossed product $C^*(E) times G$ is isomorphic to the $C^*$-algebra of a graph of $C^*$-correspondences and stably isomorphic to a locally finite graph algebra. If $C^*(E)$ is simple and purely infinite and the action of $G$ is outer, then $C^*(E)^G$ and $C^*(E) times G$ are also simple and purely infinite with the same $K$-theory groups. We illustrate with several examples.

研究动机与目标

• 研究当紧致群 $G$ 作用于 $C^*$-代数 $A$ 上的 $C^*$-对应关系 $\mathcal{H}$ 时，固定点代数 $\mathcal{O}_\mathcal{H}^G$ 和交叉积 $\mathcal{O}_\mathcal{H} \rtimes G$ 的结构。
• 从群表示 $\rho$ 在 $\mathcal{H}$ 上的张量幂的互换子出发，定义多普利切尔-罗伯茨代数 $\mathcal{O}_\rho$，并在特定条件下建立其与 $\mathcal{O}_\mathcal{H}^G$ 的同构关系。
• 将拓扑图上的群作用扩展至其关联的 $C^*$-代数，并分析由此产生的交叉积与固定点代数。
• 证明：当有限群作用于离散、局部有限图时，交叉积 $C^*(E) \rtimes G$ 同构于一个 $C^*$-对应关系图的代数，从而可进行 $K$-理论计算。

提出的方法

• 通过 $C_0(E^0)$ 和 $C_c(E^1)$ 上的对偶作用，定义与拓扑图 $E$ 关联的 $C^*$-对应关系 $\mathcal{H}_E$ 上的群作用，并将其延拓至陈-平斯纳代数 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}_E} = C^*(E)$。
• 将多普利切尔-罗伯茨代数 $\mathcal{O}_\rho$ 构造为张量幂 $ \rho^n = \rho^{\otimes n} $ 的表示 $ \rho: G \to \mathcal{L}_\mathbb{C}(\mathcal{H}) $ 的互换子 $ (\rho^m, \rho^n) $ 生成的 $C^*$-代数。
• 利用 $C^*$-对应关系的普遍性质，将群作用从 $\mathcal{H}$ 提升至陈-平斯纳代数 $\mathcal{O}_\mathcal{H}$，确保与 $\mathbb{T}$ 的规范作用相容。
• 对于作用于离散、局部有限图 $E$ 的有限群 $G$，利用 $E^0$ 和 $E^1$ 的轨道空间及稳定子群特征标，构造一个 $C^*$-对应关系图，以建模交叉积 $C^*(E) \rtimes G$。
• 证明 $C^*(E) \rtimes G$ 同构于该 $C^*$-对应关系图的代数，因此稳定同构于一个图代数。
• 利用群作用与规范作用的交换性，证明 $C^*(E)^\mathbb{T} \rtimes G \cong (C^*(E) \rtimes G)^\mathbb{T}$，从而得出核心的 AF-代数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$C^*$-对应关系 $\mathcal{H}$ 上的群表示 $\rho$ 所关联的固定点代数 $\mathcal{O}_\mathcal{H}^G$ 同构于多普利切尔-罗伯茨代数 $\mathcal{O}_\rho$？
• RQ2 如何用 $C^*$-对应关系图来描述有限群作用下图 $C^*$-代数的交叉积 $C^*(E) \rtimes G$？
• RQ3 当 $C^*(E)$ 是简单且纯无穷，且作用为外作用时，$C^*(E)^G$ 和 $C^*(E) \rtimes G$ 的 $K$-理论是什么？
• RQ4 群 $G$ 在核心 AF-代数 $C^*(E)^\mathbb{T}$ 上的作用如何影响 $C^*(E)^\mathbb{T} \rtimes G$ 的结构？
• RQ5 对于图上的有限群作用，多普利切尔-罗伯茨代数 $\mathcal{O}_\rho$ 是否可实现为 Cuntz-Krieger 代数中的全角？

主要发现

• 对于作用于离散、局部有限图 $E$ 的有限群 $G$，交叉积 $C^*(E) \rtimes G$ 同构于由轨道空间和稳定子特征标构造的 $C^*$-对应关系图的代数。
• 交叉积 $C^*(E) \rtimes G$ 稳定同构于一个图代数，从而可通过轨道图的关联矩阵进行 $K$-理论计算。
• 当 $C^*(E)$ 是简单且纯无穷，且 $G$-作用为外作用时，$C^*(E)^G$ 和 $C^*(E) \rtimes G$ 均为简单且纯无穷，且具有相同的 $K$-理论群。
• 在适当条件下，固定点代数 $\mathcal{O}_\mathcal{H}^G$ 同构于多普利切尔-罗伯茨代数 $\mathcal{O}_\rho$，为表示论构造提供了 $C^*$-代数实现。
• 核心 AF-代数 $C^*(E)^\mathbb{T}$ 在 $G$-作用下保持不变，且 $C^*(E)^\mathbb{T} \rtimes G$ 同构于交叉积的核心，构成一个 AF-代数。
• 在 $S_3$ 作用于 $\mathcal{O}_3$ 或 $D_4$ 作用于十字图等例子中，固定点代数与交叉积代数的 $K$-理论与 $\mathcal{O}_3$ 一致，其中 $K_0$ 由归纳极限 $\varinjlim(\mathbb{Z}^3, B)$ 给出，$B$ 为特定关联矩阵。