[论文解读] Group Activity Selection with Few Agent Types

Robert Ganian, Sebastian Ordyniak+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 15被引用 2

一句话总结

本文解决了以代理类型数量为参数的群组活动选择问题（GASP、sGASP、gGASP）的参数复杂度——一个长期悬而未决的问题。论文提出了一个针对GASP的固定参数可满足算法，以及一个基于新颖子集和技巧与无环解压缩的sGASP的XP算法，辅以通过Sidon序列和受限多维子集和变体证明的W[1]-难解性结果。

ABSTRACT

The Group Activity Selection Problem (GASP) models situations where a group of agents needs to be distributed to a set of activities while taking into account preferences of the agents w.r.t. individual activities and activity sizes. The problem, along with its well-known variants sGASP and gGASP, has previously been studied in the parameterized complexity setting with various parameterizations, such as number of agents, number of activities and solution size. However, the complexity of the problem parameterized by the number of types of agents, a natural parameter proposed already in the first paper that introduced GASP, has so far remained unexplored. In this paper we establish the complexity map for GASP, sGASP and gGASP when the number of types of agents is the parameter. Our positive results, consisting of one fixed-parameter algorithm and one XP algorithm, rely on a combination of novel Subset Sum machinery (which may be of general interest) and identifying certain compression steps which allow us to focus on solutions which are "acyclic". These algorithms are complemented by matching lower bounds, which among others close a gap to a recently obtained tractability result of Gupta, Roy, Saurabh and Zehavi (2017). In this direction, the techniques used to establish W[1]-hardness of sGASP are of particular interest: as an intermediate step, we use Sidon sequences to show the W[1]-hardness of a highly restricted variant of multi-dimensional Subset Sum, which may find applications in other settings as well.

研究动机与目标

• 解决参数复杂度领域中一个长期悬而未决的问题：当以代理类型数量为参数时，GASP、sGASP和gGASP的复杂度。
• 开发以子集和与解的无环性为核心的新型算法技术，以应对代理类型参数化。
• 建立匹配的下界，包括通过新颖的Sidon序列约化证明的sGASP的W[1]-难解性。
• 提供GASP变体在代理、活动和代理类型参数下的完整复杂度图谱。

提出的方法

• 提出一种新颖的压缩技术，将任意解简化为等价的无环解，从而实现高效搜索。
• 通过一种称为Tree Subset Sum的新子集和变体，为GASP设计固定参数算法，支持在代理类型上的动态规划。
• 通过将分拆多维子集和（SMPSS）与代理分组上的分支策略相结合，为sGASP提出XP算法。
• 利用Sidon序列证明一种高度受限的多维子集和变体的W[1]-难解性，该变体作为核心难解性构件。
• 构建二分图匹配公式，以验证在猜测的代理分组和活动分配下分配的稳定性。
• 利用代理类型带来的结构洞见，缩小搜索空间，避免对所有代理分配进行暴力枚举。

实验结果

研究问题

• RQ1 当以代理类型数量为参数时，群组活动选择问题（GASP）是否为固定参数可满足的？
• RQ2 在相同参数化下，sGASP的参数复杂度如何？
• RQ3 当以代理类型为参数时，gGASP的复杂度能否被完全刻画，其与GASP和sGASP相比有何异同？
• RQ4 能否开发基于子集和的新算法技术，以处理代理类型参数化？
• RQ5 这些问题在代理类型参数化下的紧致下界是什么？能否通过新型组合构件建立这些下界？

主要发现

• 本文证明了当以代理类型数量为参数时，GASP是固定参数可满足的，其核心是新颖的Tree Subset Sum公式化。
• 针对以代理类型数量为参数的sGASP，开发出一个XP算法，其依赖于分拆多维子集和变体。
• 通过利用Sidon序列将高度受限的多维子集和变体约化至sGASP，本文证明了sGASP在代理类型参数化下的W[1]-难解性。
• 引入一种新型组合构件——Sidon序列，用于证明受限多维子集和问题的W[1]-难解性，该构件可能在其他约化中具有可重用性。
• 作者通过证明当以代理数量为参数时，sGASP是固定参数可满足的，从而解决了长期悬而未决的问题，完成了复杂度图谱的构建。
• 所开发的算法与难解性结果为GASP变体在代理、活动和代理类型参数下的复杂度提供了近乎完整的复杂度图谱。