[论文解读] Group C*-algebras without the completely bounded approximation property

Uffe Haagerup|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用 55

一句话总结

本文证明了实秩至少为2且中心有限的单李群 $G$ 的傅里叶代数 $A(G)$ 缺乏乘子有界的近似单位，且此类群中任意格 $Γ$ 的约化 $C^*$-代数 $C^*_r(\Gamma)$ 不具备完全有界逼近性质（CBAP）。这些结果扩展了对秩1群的早期工作，表明CBAP不适用于高秩单李群，从而解决了算子代数与调和分析领域长期存在的一个问题。

ABSTRACT

It is proved that: (1) The Fourier algebra A(G) of a simple Lie group G of real rank at least 2 with finite center does not have a multiplier bounded approximate unit. (2) The reduced C*-algebra of any lattice in a non-compact simple Lie group of real rank at least 2 with finite center does not have the completely bounded approximation property. Hence, the results obtained by J. de Canniere and the author for SO(n,1), n at least 2, and by M. Cowling for SU(n,1) do not generalize to simple Lie groups of real rank at least 2.

研究动机与目标

• 确定实秩 $\geq 2$ 且中心有限的单李群 $G$ 的傅里叶代数 $A(G)$ 是否存在乘子有界的近似单位。
• 研究此类群中格 $Γ$ 的约化 $C^*$-代数 $C^*_r(\Gamma)$ 是否具有完全有界逼近性质（CBAP）。
• 将 de Cannière 与 Haagerup 对 $\operatorname{SO}_e(n,1)$ 以及 Cowling 对 $\operatorname{SU}(n,1)$ 的结果（表明秩1群具有CBAP）推广至高秩群。
• 通过算子理论方法，建立傅里叶代数上完全有界乘子的刻画。
• 解决高秩单李群中格的约化群 $C^*$-代数的CBAP是否成立的问题。

提出的方法

• 利用具有有限中心和实秩 $\geq 2$ 的单李群的卡兹丹性质 (T) 和局部同构性质，将问题约化为 $\operatorname{SL}(3,\mathbb{R})$ 和 $\operatorname{Sp}(2,\mathbb{R})$ 的情形。
• 通过群冯诺依曼代数的对偶性，建立 $A(G)$ 中乘子有界近似单位的存在性与 $C^*_r(\Gamma)$ 对格 $Γ \subset G$ 的CBAP之间的等价关系。
• 利用希尔伯特空间值函数 $\xi, \eta: G \to H$ 的刻画，其中 $\sup_x \|\xi(x)\|, \|\eta(x)\| < \infty$ 且具有局部可数性，来表征完全有界乘子。
• 通过构造 $B(L^2(G))$ 上的完全有界映射 $\Phi$，其中 $\Phi(s) = \sum_i b_i^* s a_i$，$a_i = m(\widehat{\xi}_i)$，$b_i = m(\widehat{\eta}_i)$，并证明 $\|\Phi\|_{CB} \leq k$。
• 利用 $\Phi(\lambda(x)) = \varphi(x)\lambda(x)$ 的事实，证明 $\varphi \in M_0A(G)$ 且 $\|\varphi\|_{M_0A} \leq k$，从而将乘子范数与算子范数联系起来。
• 依赖于 $A(G)$ 与群冯诺依曼代数 $\mathfrak{M}(G)$ 之间的对偶性，以及 $A(G)$ 存在乘子有界近似单位当且仅当 $\mathfrak{M}(G)$ 具有 $\sigma$-弱CBAP 的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 实秩至少为2且中心有限的单李群 $G$ 的傅里叶代数 $A(G)$ 是否存在乘子有界的近似单位？
• RQ2 此类群中格 $Γ$ 的约化 $C^*$-代数 $C^*_r(\Gamma)$ 是否具有完全有界逼近性质（CBAP）？
• RQ3 de Cannière 与 Haagerup 对 $\operatorname{SO}_e(n,1)$ 以及 Cowling 对 $\operatorname{SU}(n,1)$ 的结果能否推广至高秩单李群？
• RQ4 是否存在基于具有局部可数性与一致有界的希尔伯特空间值函数 $\xi, \eta: G \to H$ 的 $A(G)$ 上完全有界乘子的刻画？
• RQ5 在格 $\Gamma \subset G$ 的情形下，$A(G)$ 中乘子有界近似单位的存在性与 $C^*_r(\Gamma)$ 的CBAP之间有何关系？

主要发现

• 实秩至少为2且中心有限的单李群 $G$ 的傅里叶代数 $A(G)$ 不具备乘子有界的近似单位。
• 此类群中任意格 $Γ$ 的约化 $C^*$-代数 $C^*_r(\Gamma)$ 不具备完全有界逼近性质（CBAP）。
• de Cannière 与 Haagerup 对 $\operatorname{SO}_e(n,1)$ 以及 Cowling 对 $\operatorname{SU}(n,1)$ 的结果无法推广至高秩单李群。
• $A(G)$ 中乘子有界近似单位的存在性与 $C^*_r(\Gamma)$ 对格 $Γ \subset G$ 的CBAP等价，且该等价关系在高秩群中不成立。
• 通过希尔伯特空间值函数 $\xi, \eta: G \to H$ 满足 $\sup_x \|\xi(x)\|, \|\eta(x)\| < \infty$ 且具有局部可数性的刻画，证明了此类近似单位的不存在性。
• 有限中心条件并非乘子有界近似单位不存在性的必要条件，如 Dorofaeff 后续所证明，但原始结果在该假设下成立。