[论文解读] Group classification of systems of non-linear reaction-diffusion equations with general diffusion matrix. III. Triangular diffusion matrix

A. Nikitin|ArXiv.org|Feb 25, 2005

Differential Equations and Numerical Methods被引用 4

一句话总结

本文通过完全分类具有三角形扩散矩阵的两分量非线性反应-扩散系统，完成了具有通用扩散矩阵的两分量非线性反应-扩散系统的群分类，包括零幂扩散和额外的一阶导数项的情况。利用李的无穷小方法，识别出所有非等价方程及其对称代数，揭示了超过300个非等价系统，并表征了扩展对称性，包括特定情况下的伽利略、共形和缩放不变性。

ABSTRACT

Group classification of systems of two coupled nonlinear reaction-diffusion equation with a general diffusion matrix started in papers math-ph/0411027,, math-ph/0411028 is completed in present paper where all non-equivalent equations with triangular diffusion matrix are classified. In addition, symmetries of diffusion systems with nilpotent diffusion matrix and additional first order derivative terms are described.

研究动机与目标

• 完成具有通用扩散矩阵的耦合非线性反应-扩散系统的群分类，重点关注此前未分类的三角形扩散矩阵情形。
• 对如下形式的系统进行分类：$ u_t - a\Delta u = f^1(u,v), \ v_t - \Delta u - a\Delta v = f^2(u,v) $，其中实常数 $ a $，包括零幂情况 $ a = 0 $。
• 确定所有此类系统对称生成元及其代数的完整集合，包括扩展对称性和等价变换。
• 识别在伽利略、共形和缩放群下不变的系统，特别是表征唯一具有扩展伽利略群的系统。

提出的方法

• 应用李的无穷小方法，推导具有三角形扩散矩阵系统的对称生成元的确定方程。
• 通过自变量和因变量的线性变换，将一般形式约化为标准形式，包括含一阶导数项的情形。
• 求解确定方程，以 $ t $ 和 $ x $ 的任意常数和函数表示对称生成元的一般形式。
• 基于 $ f^1(u,v) $ 和 $ f^2(u,v) $ 的函数形式对系统进行分类，通过等价变换和对称性扩展识别非等价情形。
• 使用矩阵记号和克罗内克符号简化确定方程组，并分析对称代数的结构。
• 通过验证所推导的对称生成元满足确定方程，并与已知的不变系统（如伽利略不变方程）交叉比对，验证结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有具有三角形扩散矩阵的两耦合非线性反应-扩散方程的非等价系统有哪些？它们分别具有何种对称性？
• RQ2 具有零幂扩散矩阵（$ a = 0 $）的系统的对称性与具有可逆三角形矩阵（$ a \neq 0 $）的系统有何不同？
• RQ3 哪些系统具有伽利略、共形或缩放不变性等扩展对称性？$ f^1 $ 和 $ f^2 $ 需要满足何种函数形式？
• RQ4 等价变换在分类 $ v $-方程中含一阶导数项的系统中起什么作用？
• RQ5 是否存在唯一一个具有完整扩展伽利略群的系统？其函数结构是什么？

主要发现

• 本文识别出54个具有可逆三角形扩散矩阵（$ a \neq 0 $）的非等价系统，其分类结果完整列于表2–6。
• 识别出68个具有零幂扩散矩阵（$ a = 0 $）的非等价系统，结果列于表8–10，部分列于表2–3。
• 共识别出14类涉及 $ v $-方程中一阶导数项的方程，详见表7。
• 唯一具有扩展伽利略群（包括缩放和共形变换）的系统由以下方程给出：$ u_t - a\Delta u = uF_1 $，$ v_t - \Delta u - a\Delta v = uF_2 - vF_1 $，其中 $ F_1 $ 和 $ F_2 $ 是 $ \xi = u e^{v/u} $ 的函数，如方程（44）所述。
• 七个系统在伽利略变换下不变，其通解形式由方程（50）给出，其对称性扩展在表4和表6中得到完整表征。
• 本文确认，此类系统的群分类可产生超过300个非等价方程，表明其对称结构具有高度复杂性和丰富性。