[论文解读] Group cohomology of the Poincare group and invariant quantum states

James Moffat, Teodora Oniga+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2016

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用 1

一句话总结

本文提出了一种基于群上同调的新型框架，用于在广义相对论和修正引力等一般场论中构造微分同胚不变的量子态。通过将可观测量的对易性与庞加莱群中平移子群的群上同调联系起来，该框架建立了幺正表示，从而生成在局部微分同胚下不变的量子态，为背景无关的量子场论提供了新的数学基础。

ABSTRACT

We develop a new mathematical approach to diffeomorphism invariant quantum states for the quantisation of general field theories such as general relativity and modified gravity. Treating quantum fields as fibre bundles, we discuss operators acting on the fibre algebra that defines a Hilbert space. The algebras of two types of operators are considered in detail, namely the observables as generic physical variables and the quantum operators suitable for describing symmetries and transformations. We then introduce generalised quantum states of these operators and examine their properties. By establishing a link between the commutativity and group cohomology of the translational group as a subgroup of the Poincare group, we show that this leads to the construction of quantum states invariant under the action of the translational group, as the local gauge group of diffeomorphisms, with unitary representations.

研究动机与目标

• 开发一种数学框架，用于在广义相对论和修正引力中构造在微分同胚下不变的量子态。
• 通过识别局部规范变换下的不变性，解决量子场论中的背景无关性挑战。
• 建立可观测量对易性与庞加莱群平移子群的群上同调之间的联系。
• 推导出确保量子态在平移群作用下不变的幺正表示。

提出的方法

• 将量子场视为纤维丛，通过纤维代数定义希尔伯特空间。
• 将算符分类为两类：可观测量作为物理变量，对称性算符用于变换。
• 引入作用于这些算子代数上的广义量子态。
• 建立算符对易性与庞加莱群中平移子群的群上同调之间的对应关系。
• 利用此上同调结构构造在平移子群作用下不变的量子态。
• 推导出保持量子态不变性的平移群的幺正表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在量子场论中构造在局部微分同胚下保持不变的量子态？
• RQ2 庞加莱群平移子群的群上同调在确保量子态不变性方面起什么作用？
• RQ3 可观测量的对易性如何与平移子群的上同调结构相关联？
• RQ4 平移群的幺正表示能否用于在背景无关理论中定义物理上一致的量子态？
• RQ5 纤维丛结构、算子代数与不变量子态之间的数学机制是什么？

主要发现

• 本文建立了算符对易性与庞加莱群平移子群的群上同调之间的直接联系。
• 此上同调结构使得能够构造在平移子群作用下不变的量子态。
• 该方法导出了平移群的幺正表示，确保与量子力学原理的一致性。
• 该框架为广义相对论和修正引力中的背景无关量子态提供了新的数学路径。
• 通过将量子场视为纤维丛，该方法自然地纳入了量子理论所需的希尔伯特空间结构。
• 所得的量子态在局部微分同胚下保持不变，因为平移子群作为微分同胚的局部规范群发挥作用。