[论文解读] Group homomorphisms as error correcting codes

Alan Guo|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Coding theory and cryptography被引用 2

一句话总结

本文推导出由有限群 G 到有限群 H 的群同态所构成的纠错码的最大一致度（与汉明距离互补）的一般公式。当 G 可解或 H 幂零时，最大一致度 ΛG,H 仅依赖于 |G| 和 |H| 的素因子以及 G 的正规子群结构，而不依赖于 H 的子群结构。关键结果是：ΛG,H 的闭式公式，以 G 中指数整除 |H| 的最小正规子群指数表示。

ABSTRACT

We investigate the minimum distance of the error correcting code formed by the homomorphisms between two finite groups $G$ and $H$. We prove some general structural results on how the distance behaves with respect to natural group operations, such as passing to subgroups and quotients, and taking products. Our main result is a general formula for the distance when $G$ is solvable or $H$ is nilpotent, in terms of the normal subgroup structure of $G$ as well as the prime divisors of $|G|$ and $|H|$. In particular, we show that in the above case, the distance is independent of the subgroup structure of $H$. We complement this by showing that, in general, the distance depends on the subgroup structure $G$.

研究动机与目标

• 确定由有限群 G 与 H 之间群同态构成的纠错码的最小距离（通过最大一致度）。
• 解决计算该距离的技术难题，该问题非平凡且对非交换群同态的列表译码至关重要。
• 识别在码的距离仅依赖于 G 的正规子群结构与 H 共享的素因子、而不依赖于 H 的子群细节的结构条件。
• 表明对于非交换单群（如 A5），距离取决于 G 如何嵌入 H，而不仅取决于 |G| 与 |H| 的素因子或 G 的正规子群结构。

提出的方法

• 定义两个同态之间的一致度 agr(φ, ψ) 为它们在群元素上取值一致的比例，并定义所有不同同态对中的最大一致度 ΛG,H。
• 证明两个同态的等化子 Eq(φ, ψ) 是 G 的正规子群，并利用群同构定理将等化子的大小与同态的核联系起来。
• 建立当 H 为 p-群时，任意一组仿射同态的等化子指数为 p 的幂，从而得出 ΛG,H 的上界为 1/p。
• 利用可解群与幂零群的结构，以集合 PG,H（|G| 与 |H| 的公共素因子）和 NG（G 的真正规子群的指数）表示 ΛG,H 的公式。
• 证明当 G 可解或 H 幂零时，若 PG,H ∩ NG 非空，则 ΛG,H = 1 / min(PG,H ∩ NG)，否则为 0。
• 通过研究自同构与不动点集分析非交换单群（如 An）的情形，利用 Burnside 引理对最大一致度进行上界估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 G 可解或 H 幂零时，由所有 G 到 H 的群同态构成的纠错码的最小距离（最大一致度）是多少？
• RQ2 最大一致度 ΛG,H 是否仅依赖于 |G| 与 |H| 的素因子以及 G 的正规子群结构，还是也依赖于 H 的子群结构？
• RQ3 能否为非交换单群（如 An）推导出 ΛG,H 的通用公式？其与可解情形有何不同？
• RQ4 为何可解 G 的公式不适用于非交换单群？在这些情况下，H 的哪些结构特征会影响 ΛG,H？
• RQ5 G 在 H 中的嵌入方式（例如作为子群或通过自同构）如何影响最大一致度 ΛG,H？

主要发现

• 当 G 可解或 H 幂零时，若 G 与 H 无共同素因子，则最大一致度 ΛG,H = 0；否则 ΛG,H = 1 / min(PG,H ∩ NG)，其中 PG,H 为 |G| 与 |H| 的公共素因子集合，NG 为 G 的真正规子群的指数集合。
• 当 G = A5 且 H = A5 时，最大一致度恰好为 1/10，由两个不同的自同构实现，它们在与 A4 同构的子群上一致。
• 当 H = A6 且 G = A5 时，最大一致度增至 1/5，表明 ΛG,H 依赖于 G 在 H 中的嵌入方式，而不仅依赖于 |G| 与 |H|。
• 该公式无法推广至任意有限群，如 A5 等非交换单群的反例所示。
• 对于满足 n ≥ 5 的交错群 An，最大一致度满足 2/(n(n−1)) ≤ ΛAn,An ≤ 1/n，且当 n = 5 时下界取等。
• 对于任意群 G 与 p-群 H，最大一致度有上界 1/p，表明码的距离受群的 p-群结构限制。