[论文解读] Group structures of a function spaces with the set-open topology

Alexander V. Osipov|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2017

Advanced Topology and Set Theory参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文研究了当从Tychonoff空间 $ X $ 到 $ \mathbb{R}^\alpha $ 的连续函数空间 $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ 配备 $ \lambda $-开拓扑时，在何种条件下该空间成为半拓扑群、拟拓扑群、拓扑群或拓扑线性空间。关键结果表明，$ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ 是拓扑线性空间（因而也是拓扑群）当且仅当 $ \lambda $ 是 $ C_\alpha $-紧集的族且满足 $ \lambda = \lambda(C_\alpha) $，并通过一个关键例子说明当 $ \alpha = \omega_1 $ 时该结论不成立。

ABSTRACT

In this paper, we find at the properties of the family lambda which imply that the function space C(X,R^alpha) with the lambda-open topology is a semitopological group (paratopological group, topological group, topological vector space and other algebraic structures) under the usual operations of addition and multiplication (and multiplication by scalars).

研究动机与目标

• 确定Tychonoff空间 $ X $ 的子集族 $ \lambda $ 满足何种条件时，配备 $ \lambda $-开拓扑的函数空间 $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ 允许具有拓扑群或线性空间结构。
• 将早期关于实值函数空间的结果推广至 $ \mathbb{R}^\alpha $-值函数，使用 $ C_\alpha $-紧性概念。
• 阐明 $ \lambda(C_\alpha) $、$ \lambda_m $ 以及功能性精化与饱和性等结构性质在决定 $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ 的代数-拓扑性质中的作用。
• 通过例子提供一个清晰的二分法：当 $ X = [0,\omega_1) $ 时，$ C_\lambda(X,\mathbb{R}^\omega) $ 是拓扑线性空间，但 $ C_\lambda(X,\mathbb{R}^{\omega_1}) $ 甚至不是半拓扑群。

提出的方法

• 引入 $ C_\alpha $-紧子集的概念：若对任意连续映射 $ f: X \to \mathbb{R}^\alpha $，都有 $ f(A) $ 在 $ \mathbb{R}^\alpha $ 中紧致，则称子集 $ A \subseteq X $ 为 $ C_\alpha $-紧集。
• 定义 $ \lambda(C_\alpha) $ 为所有满足以下条件的集合 $ A \in \lambda $：对每个 $ C_\alpha $-紧集 $ B \subset A $ 和每个开集 $ U \subseteq \mathbb{R}^\alpha $，集合 $ [B,U] $ 在 $ C_\lambda(X,\mathbb{R}^\alpha) $ 中是开集。
• 使用最大族 $ \lambda_m $，使得 $ C_\lambda(X,\mathbb{R}^\alpha) = C_{\lambda_m}(X,\mathbb{R}^\alpha) $，并证明 $ \lambda_m $ 决定了空间的拓扑结构。
• 应用功能性精化与饱和族的概念，刻画 $ C_\lambda(X,\mathbb{R}^\alpha) $ 支持连续群运算的条件。
• 利用 $ \lambda $ 上的一致收敛一致结构 $ \mathcal{U}|\lambda $，将 $ \lambda $-开拓扑与一致结构联系起来。
• 建立拓扑群性质与条件 $ \lambda = \lambda(C_\alpha) $ 的等价性，前提是 $ \lambda $ 由 $ C_\alpha $-紧集构成。

实验结果

研究问题

• RQ1 在子集族 $ \lambda $ 满足何种条件时，$ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ 在逐点加法与数乘下成为拓扑群？
• RQ2 在何种条件下，$ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ 的 $ \lambda $-开拓扑使其成为拓扑线性空间或拓扑代数？
• RQ3 $ \lambda(C_\alpha) $ 在决定 $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ 是否为半拓扑群或拟拓扑群中起什么作用？
• RQ4 空间 $ X $ 的性质（如 $ X = [0,\omega_1) $）如何影响不同 $ \alpha $ 下 $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ 的群结构？
• RQ5 为何 $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\omega) $ 成为拓扑线性空间，而 $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^{\omega_1}) $ 却甚至不是半拓扑群？

主要发现

• 空间 $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\alpha) $ 是拓扑线性空间（因而也是拓扑群）当且仅当 $ \lambda $ 是 $ C_\alpha $-紧集的族且 $ \lambda = \lambda(C_\alpha) $。
• 当 $ X = [0,\omega_1) $ 时，若 $ \lambda $ 由 $ C $-紧集构成，则 $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\omega) $ 是半拓扑群、局部凸拓扑线性空间及拓扑代数。
• 然而，$ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^{\omega_1}) $ 不是半拓扑群，表明在 $ \alpha = \omega_1 $ 处存在一个清晰的临界点。
• 最大族 $ \lambda_m $ 满足 $ C_{\lambda}(X,\mathbb{R}^\alpha) = C_{\lambda_m}(X,\mathbb{R}^\alpha) $，且为使空间为Hausdorff并允许群结构，$ \lambda_m $ 必须是 $ \pi $-网络且为饱和族。
• 当 $ \lambda $ 是 $ C_\alpha $-紧集族且对 $ C_\alpha $-紧子集封闭时，拓扑群性质与条件 $ \lambda = \lambda(C_\alpha) $ 之间存在等价关系。
• 当 $ \alpha $ 具有不可数共尾性时，$ X = [0,\alpha) $ 对所有 $ \gamma < \text{cf}(\alpha) $ 是 $ \gamma $-伪紧的，但不是 $ \text{cf}(\alpha) $-伪紧的，这解释了为何 $ \mathbb{R}^{\text{cf}(\alpha)} $-值函数空间的群结构会失效。