[论文解读] Group-theoretic generalisations of vertex and edge connectivities

Yinan Li, Youming Qiao|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文引入了两类有限 p-群 P 的群论参数 κ(P) 和 λ(P)，其阶为 2 且指数为 p，推广了图的顶点连通性和边连通性。研究证明，对于通过 Baer-Lovász-Tutte 构造法从图 G 构造出的群 PG，有 κ(PG) 等于顶点连通性 κ(G)，λ(PG) 等于边连通性 λ(G)，从而在 p-群理论中建立了图连通性的深刻代数推广。

ABSTRACT

Let $p$ be an odd prime. Let $P$ be a finite $p$-group of class $2$ and exponent $p$, whose commutator quotient $P/[P,P]$ is of order $p^n$. We define two parameters for $P$ related to central decompositions. The first parameter, $κ(P)$, is the smallest integer $s$ for the existence of a subgroup $S$ of $P$ satisfying (1) $S\cap [P,P]=[S,S]$, (2) $|S/[S,S]|=p^{n-s}$, and (3) $S$ admits a non-trivial central decomposition. The second parameter, $λ(P)$, is the smallest integer $s$ for the existence of a central subgroup $N$ of order $p^s$, such that $P/N$ admits a non-trivial central decomposition. While defined in purely group-theoretic terms, these two parameters generalise respectively the vertex and edge connectivities of graphs: For a simple undirected graph $G$, through the classical procedures of Baer (Trans. Am. Math. Soc., 1938), Tutte (J. Lond. Math. Soc., 1947) and Lovász (B. Braz. Math. Soc., 1989), there is a $p$-group of class $2$ and exponent $p$ $P_G$ that is naturally associated with $G$. Our main results show that the vertex connectivity $κ(G)$ is equal to $κ(P_G)$, and the edge connectivity $λ(G)$ is equal to $λ(P_G)$. We also discuss the relation between $κ(P)$ and $λ(P)$ for a general $p$-group $P$ of class $2$ and exponent $p$, as well as the computational aspects of these parameters.

研究动机与目标

• 定义并研究 p-群中阶为 2 且指数为 p 的两类新群论参数 κ(P) 和 λ(P)，其动机源于与图连通性的类比。
• 通过 Baer-Lovász-Tutte 构造法，建立这些群参数与经典图连通性不变量之间的精确对应关系。
• 分析一般阶为 2 且指数为 p 的 p-群中 κ(P) 与 λ(P) 的关系。
• 在交替双线性型与矩阵空间的背景下，探讨这些参数的计算复杂度与结构特性。

提出的方法

• 将 κ(P) 定义为满足以下条件的最小 s：存在子群 S，使得 S ∩ [P,P] = [S,S]，|S/[S,S]| = p^{n−s}，且 S 允许非平凡的中心分解。
• 将 λ(P) 定义为满足以下条件的最小 s：存在阶为 p^s 的中心子群 N，使得 P/N 允许非平凡的中心分解。
• 通过 Baer-Lovász-Tutte 方法从图 G 构造 p-群 PG：利用 F_p 上的交替矩阵空间与交替双线性型。
• 使用群运算 (v1,u1)∘(v2,u2) := (v1+v2, u1+u2 + ½ϕ(v1,v2)) 在 F_p^n × F_p^m 上定义群结构。
• 利用完全连通矩阵空间构造，证明在某些交替矩阵空间 𝒜 中有 λ(𝒜) < κ(𝒜)，从而展示两个参数之间的严格分离。
• 应用有限域与有理数域上的线性代数结果，构造出满足 λ(P) < κ(P) 的例子，使用域扩张的正则表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 在阶为 2 且指数为 p 的 p-群框架下，是否存在图顶点连通性的群论推广？
• RQ2 图的边连通性能否在相同类别的 p-群中被某个群论不变量精确捕捉？
• RQ3 对于一般阶为 2 且指数为 p 的 p-群 P，参数 κ(P) 与 λ(P) 之间的关系是什么？
• RQ4 在中心商与子群分解下，参数 κ(P) 与 λ(P) 的行为如何？
• RQ5 这些参数能否被高效计算？其结构与计算特性为何？

主要发现

• 对于任意简单无向图 G，其顶点连通性 κ(G) 恰好等于通过 Baer-Lovász-Tutte 方法从 G 构造出的阶为 2 且指数为 p 的 p-群 PG 的群参数 κ(PG)。
• 边连通性 λ(G) 恰好等于群参数 λ(PG)，从而在图不变量与群不变量之间建立了完全的代数对应关系。
• 存在阶为 2 且指数为 p 的 p-群 P，使得 λ(P) < κ(P)，证明这两个参数在一般情况下并不等价。
• 对于任意奇素数 p 和维度 s > 1，存在一个阶为 s 的完全连通矩阵空间，其定义在 F_p 或 Q 上，可用于构造满足 λ(𝒜) < κ(𝒜) 的交替矩阵空间。
• 此类矩阵空间的构造依赖于 F_p 或 Q 上 s 次域扩张的正则表示，确保其张成空间中所有非零元素均具有满秩。
• 本文证明：对于由维度 d < n−1 的 s×t 完全连通矩阵空间构造出的特定交替矩阵空间 𝒜，有 κ(𝒜) = n−1 且 λ(𝒜) ≤ d < n−1，其中 n = s + t。