[论文解读] Group topologies coarser than the Isbell topology

Szymon Dolecki, Francis Jordan+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2010

Advanced Banach Space Theory参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文表征了在连续实值函数空间 $C(X,\mathbb{R})$ 上比 Isbell 拓扑更粗的群拓扑。它利用测度论方法，引入了 $C(X,\mathbb{R})$ 上一个典范的向量空间拓扑 $\Lambda^{\downarrow}(X)$ 的构造，表明 $C_{\Lambda^{\downarrow}}(X,\mathbb{R})$ 是拓扑向量空间当且仅当 $X$ 是 infraconsonant。关键贡献在于首次给出了一个严格比紧开拓扑更细的分裂群拓扑的例子，当 $X$ 不是 pre-Radon 时实现。

ABSTRACT

The Isbell, compact-open and point-open topologies on the set $C(X,\mathbb{R})$ of continuous real-valued maps can be represented as the dual topologies with respect to some collections $α(X)$ of compact families of open subsets of a topological space $X$. Those $α(X)$ for which addition is jointly continuous at the zero function in $C_α(X,\mathbb{R})$ are characterized, and sufficient conditions for translations to be continuous are found. As a result, collections $α(X)$ for which $C_α(X,\mathbb{R})$ is a topological vector space are defined canonically. The Isbell topology coincides with this vector space topology if and only if $X$ is infraconsonant. Examples based on measure theoretic methods, that $C_α(X,\mathbb{R})$ can be strictly finer than the compact-open topology, are given. To our knowledge, this is the first example of a splitting group topology strictly finer than the compact-open topology.

研究动机与目标

• 表征 Isbell 拓扑在 $C(X,\mathbb{R})$ 上为拓扑群或向量空间的条件。
• 识别 $C_{\alpha}(X,\mathbb{R})$ 允许比 Isbell 拓扑更粗的群拓扑的条件。
• 在 $C(X,\mathbb{R})$ 上构造一个典范的向量空间拓扑 $\Lambda^{\downarrow}(X)$，使其在某些空间上严格比紧开拓扑更细。
• 提供 $C(X,\mathbb{R})$ 上首个严格比紧开拓扑更细的分裂群拓扑的例子，利用测度论构造。

提出的方法

• 本文定义了一个集合 $\alpha(X)$，即 $X$ 的紧致、开集同态族的集合，以生成 $C(X,\mathbb{R})$ 上的对偶拓扑，使用子基开集 $[\mathcal{A}, U] = \{f \in C(X,\mathbb{R}) : f^{-1}(U) \in \mathcal{A}\}$。
• 它引入了 $\Lambda^{\downarrow}(X)$，即 $\kappa(X)$ 中使得在 $C_{\alpha}(X,\mathbb{R})$ 上加法在零处联合连续的紧致族的最大遗传族。
• 利用 $X$ 上的 $\tau$-加性有限测度 $\mu$，本文构造了族 $\mathcal{M}_r^\mu = \{O \in \mathcal{O}_X : \mu(O) > r\}$，并证明这些族是自分裂的且遗传自结合的。
• 它证明了若 $X$ 不是 pre-Radon，则 $\Lambda^{\downarrow}(X)$ 严格包含 $k(X)$，意味着 $C_{\Lambda^{\downarrow}}(X,\mathbb{R})$ 严格比 $C_k(X,\mathbb{R})$ 更细，且为拓扑向量空间。
• 本文建立 $C_{\Lambda^{\downarrow}}(X,\mathbb{R})$ 是拓扑向量空间当且仅当 $X$ 是 infraconsonant。
• 它利用分裂拓扑与连续收敛之间的等价性，证明 $C_{\Lambda^{\downarrow}}(X,\mathbb{R})$ 是分裂的，且在非 pre-Radon 空间上严格比紧开拓扑更细。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，$C(X,\mathbb{R})$ 上的 Isbell 拓扑是拓扑群？
• RQ2 能否存在一个比紧开拓扑更细的群拓扑，同时仍是分裂的？
• RQ3 是否存在一个在 $C(X,\mathbb{R})$ 上的典范向量空间拓扑构造，其比 Isbell 拓扑更粗，且能保证加法的联合连续性？
• RQ4 若 $X$ 上存在一个非 Radon 的 $\tau$-加性测度，是否意味着 $C(X,\mathbb{R})$ 上存在一个严格更细的群拓扑？
• RQ5 在完全正则空间中，infraconsonant 空间是否与 consonant 空间重合？

主要发现

• Isbell 拓扑 $\kappa(X,\mathbb{R})$ 是拓扑向量空间当且仅当 $X$ 是 infraconsonant。
• $\Lambda^{\downarrow}(X)$ 构成 $\kappa(X)$ 中使得 $C_{\Lambda^{\downarrow}}(X,\mathbb{R})$ 为拓扑向量空间的最大遗传族。
• 对于任意完全正则空间 $X$，若 $X$ 不是 pre-Radon，则 $C_{\Lambda^{\downarrow}}(X,\mathbb{R})$ 严格比紧开拓扑 $C_k(X,\mathbb{R})$ 更细，且为拓扑向量空间。
• $C_{\Lambda^{\downarrow}}(X,\mathbb{R})$ 拓扑是分裂的，且严格比紧开拓扑更细，提供了此类拓扑的首个已知例子。
• 若 $X$ 是 Hausdorff 非 pre-Radon 空间，则 $\Lambda^{\downarrow}(X)$ 严格包含 $k(X)$，因此 $C_{\Lambda^{\downarrow}}(X,\mathbb{R}) > C_k(X,\mathbb{R})$。
• Sorgenfrey 直线（非 pre-Radon）允许一个严格比紧开拓扑更细的群拓扑 $C_{\Lambda^{\downarrow}}(X,\mathbb{R})$。