[论文解读] Groupes de Cremona, connexité et simplicité

Jérémy Blanc|Archive ouverte UNIGE (University of Geneva)|Mar 13, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 5

一句话总结

本文证明了对所有维度 $n$，Cremona 群 $\mathrm{Cr}_n(k)$ 是连通的，且当赋予 Zariski 拓扑时，二维 Cremona 群 $\mathrm{Cr}_2(k)$ 是单群。通过变形技巧与 Jonquières 子群的结构，作者利用代数族中的路径提升方法，证明了自同态与双有理映射的线性连通性，从而解决了关于高维 Cremona 群在拓扑上的简单性与连通性的长期悬而未决问题。

ABSTRACT

The Cremona group is connected in any dimension and, endowed with its topology, it is simple in dimension 2. ----- Le groupe de Cremona est connexe en toute dimension et, muni de sa topologie, il est simple en dimension 2.

研究动机与目标

• 解决 J.-P. Serre 提出的关于 $n \geq 3$ 时 Cremona 群 $\mathrm{Cr}_n(k)$ 连通性的问题。
• 回答 D. Mumford 在 1974 年提出的问题：当赋予 Zariski 拓扑时，$\mathrm{Cr}_2(k)$ 是否为单群？
• 通过代数族与到 $\mathrm{Bir}(X)$ 的态射，建立 Cremona 群的拓扑框架。
• 证明可与单位元连通的元素构成的子群是一个正规子群，且包含 $\mathrm{Aut}(\mathbb{P}^n_k)$ 与 Jonquières 子群。
• 证明 $\mathrm{Cr}_n(k)$ 中每个双有理映射均可通过代数族中的态射与单位元连通，从而蕴含整个群的连通性。

提出的方法

• 通过从 $k$-概形 $A \to \mathrm{Bir}(X)$ 的态射拉回的闭集，定义 $\mathrm{Bir}(X)$ 上的 Zariski 拓扑。
• 利用保留有理纤维的 Jonquières 子群 $\mathit{J}_n \subset \mathrm{Cr}_n(k)$ 构造路径连通族。
• 应用变形引理（引理 3.3）证明双有理映射可与 $\mathit{J}_n^0$ 中的法向导数连通，从而实现路径构造。
• 通过与对合 $\sigma$ 的共轭，将任意元素 $g \in \mathrm{Cr}_n(k)$ 的路径构造转化为固定某点的映射情形，从而归约至该情形。
• 使用归纳法：假设 $\mathrm{Cr}_{n-1}(k)$ 连通，证明由 $\mathit{J}_n^0 \simeq \mathrm{PGL}(2,K)$ 与 $\mathrm{Cr}_{n-1}(k)$ 生成的 $\mathit{J}_n$ 属于单位元的连通分支。
• 通过矩阵元素的线性形变证明 $\mathrm{Aut}(\mathbb{P}^n_k) \subset \mathcal{U}_0$，并证明 $\mathit{J}_n^0 \subset \mathcal{U}_0$，从而生成整个群。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Zariski 拓扑下，对所有 $n \geq 1$，Cremona 群 $\mathrm{Cr}_n(k)$ 是否连通？
• RQ2 当赋予 Zariski 拓扑时，群 $\mathrm{Cr}_2(k)$ 是否为单群？
• RQ3 每个 $\mathbb{P}^n_k$ 上的双有理自同构是否可通过从 $k$-概形出发的态射与单位元连通？
• RQ4 可与单位元连通的元素构成的子群是否为正规子群，且包含 $\mathrm{Aut}(\mathbb{P}^n_k)$ 与 Jonquières 子群？
• RQ5 能否利用 $\mathit{J}_n^1 \simeq \mathrm{PSL}(2,K)$ 的结构证明二维情形下的简单性与连通性？

主要发现

• 对所有 $n$，Cremona 群 $\mathrm{Cr}_n(k)$ 是连通的，解决了 Serre 在 2008 年提出的问题。
• 当赋予 Zariski 拓扑时，群 $\mathrm{Cr}_2(k)$ 是单群，正面回答了 Mumford 在 1974 年提出的问题。
• 可与单位元连通的元素构成的子群 $\mathcal{U}_0$ 是 $\mathrm{Cr}_n(k)$ 的正规子群，且包含 $\mathrm{Aut}(\mathbb{P}^n_k)$ 与 Jonquières 子群 $\mathit{J}_n^0$。
• 每个 $\mathrm{Cr}_n(k)$ 的元素均属于 $\mathcal{U}_0$，从而表明整个群是连通的。
• 引理 3.3 中的法向导数构造可将任意双有理映射约化为 Jonquières 型映射，从而实现路径提升与连通性证明。
• 利用 $\mathit{J}_n^1 \simeq \mathrm{PSL}(2,K)$ 的简单性作为关键工具，证明了 $\mathrm{Cr}_2(k)$ 的简单性。