[论文解读] Groupes de Kac-Moody déployés sur un corps local, II Masures ordonnées

Guy Rousseau|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用 16

一句话总结

本文为任意实值域上的分裂 Kac-Moody 群构建了一个有序仿射霍弗尔（maser），推广了 Gaussent-Rousseau 与 Bruhat-Tits 的早期结果。利用 Mathieu 的极大 Kac-Moody 群及整数值通用包络代数，证明该霍弗尔满足 Rousseau（2011）所定义的有序仿射霍弗尔的所有公理，包括预序的不变性以及无穷远处的对偶建筑物结构。

ABSTRACT

For a split Kac-Moody group (in J. Tits' definition) over a field endowed with a real valuation, we build an ordered affine hovel on which the group acts. This construction generalizes the one already done by S. Gaussent and the author when the residue field contains the complex field [Annales Fourier, 58 (2008), 2605-2657] and the one by F. Bruhat and J. Tits when the group is reductive. We prove that this hovel has all properties of ordered affine hovels (masures affines ordonnées) as defined in [Rousseau, ArXiv 0810.4241]. We use the maximal Kac-Moody group as defined by O. Mathieu and we prove a few new results about it over any field; in particular we prove, in some cases, a simplicity result for this group.

研究动机与目标

• 将有序仿射霍弗尔（masures）的构造从半单群与复余数 Kac-Moody 群推广至任意分裂 Kac-Moody 群，适用于任意实值域。
• 证明所构造的霍弗尔满足 Rousseau（2011）所定义的有序仿射霍弗尔的所有公理，包括预序不变性与无穷远处的对偶建筑物结构。
• 通过使用 Mathieu 的极大群构造与整数通用包络代数，将 Kac-Moody 群理论推广至任意域。
• 在某些情形下证明极大 Kac-Moody 群的简化性结果，推广 Moody 定理。
• 通过霍弗尔提供一个几何框架，捕捉 Kac-Moody 群中的 Cartan 分解与帕拉霍里子群，即使在正余数特征情形下亦成立。

提出的方法

• 通过‘见证单间’与关联于该单间上滤子的帕拉霍里子群构造霍弗尔，推广了 Bruhat-Tits 的方法。
• 采用 Mathieu 的极大 Kac-Moody 群 $G^{pma}$ 或 $G^{nma}$ 作为环境群，取代早期使用的 Kumar 群。
• 利用整数值通用包络代数定义扭曲分次幂与扭曲指数映射，实现对群元素的代数控制。
• 应用带有扭曲分次幂的 Poincaré-Birkhoff-Witt 定理，建立通用包络代数的基。
• 通过在见证单间上的滤子系统性地构造帕拉霍里子群，使用极大群作为容器。
• 验证所得到的霍弗尔满足有序仿射霍弗尔的公理，包括无穷远处对偶建筑物的存在性与 $G$-不变预序。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为任意实值域上的分裂 Kac-Moody 群构建一个有序仿射霍弗尔，而无需对余数域或根系施加限制？
• RQ2 通过 Mathieu 的极大群与整数通用包络代数构造的霍弗尔是否满足 Rousseau（2011）所定义的有序仿射霍弗尔的抽象公理？
• RQ3 Mathieu 的极大 Kac-Moody 群在任意域上的结构性质为何，特别是其简化性？
• RQ4 帕拉霍里子群与见证单间如何相互作用，以在霍弗尔上定义一致的、$G$-不变的几何结构？
• RQ5 霍弗尔框架能否捕捉 Kac-Moody 群中的 Cartan 分解，特别是在非离散、非半单情形下？

主要发现

• 该构造为任意实值域上的分裂 Kac-Moody 群生成了一个明确定义的有序仿射霍弗尔，推广了此前对半单群与复余数 Kac-Moody 群的结果。
• 该霍弗尔满足 Rousseau（2011）所定义的有序仿射霍弗尔的所有公理，包括 $G$-不变预序与无穷远处对偶建筑物的存在性。
• 为整数值通用包络代数建立了带有扭曲分次幂的 Poincaré-Birkhoff-Witt 定理，使群代数具有基。
• 在极大 Kac-Moody 群中构造了扭曲指数映射，使得在缺乏标准指数映射的情况下仍能控制群元素。
• 在某些情形下证明了极大 Kac-Moody 群 $G^{pma}$ 或 $G^{nma}$ 的简化性结果，将 Moody 定理推广至一般情形。
• 该霍弗尔构造在任意余数特征下均成立，包括正特征情形，克服了早期方法依赖复余数域的局限性。