[论文解读] Groupoid cocycles and K-theory

Bram Mesland|arXiv (Cornell University)|May 20, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文利用局部紧致哈斯多夫群胚上具有哈尔系的实值上循环，为群胚 C*-代数构造了奇的、等变的无界 KK-循环。在温和条件下——对于 étale 群胚上的整数值上循环自动满足——该构造产生一个双模，当上循环源自拟不变测度时，可诱导从 $ K_1(C^*(\mathcal{G})) $ 到 $ \mathbb{C} $ 的指标映射，为非交换几何与算子代数提供了一项 K-理论工具。

ABSTRACT

Let $c:\mathcal{G} o\R$ be a cocycle on a locally compact Hausdorff groupoid $\mathcal{G}$ with Haar system. Under some mild conditions (satisfied by all integer valued cocycles on étale groupoids), $c$ gives rise to an unbounded odd $\R$-equivariant bimodule $(\mathpzc{E},D)$ for the pair of $C^{*}$-algebras $(C^{*}(\mathcal{G}),C^{*}(\mathcal{H}))$. If the cocycle comes from a continuous quasi-invariant measure on the unit space $\mathcal{G}^{(0)}$, the corresponding element in $KK_{1}^{\R}(C^{*}(\mathcal{G}),C^{*}(\mathcal{H}))$ gives rise to an index map $K_{1}^{\R}(C^{*}(\mathcal{G})) o \C$.

研究动机与目标

• 通过群胚 $ \mathcal{G} $ 上的实值 1-上循环 $ c $，为 $ C^*(\mathcal{G}) $ 和 $ C^*(\mathcal{H}) $（其中 $ \mathcal{H} = \ker c $）构造奇的、等变的无界 KK-循环。
• 建立此类上循环产生良定义的无界正则算子 $ D $ 的条件，使其在 $ C^* $-模意义下形成 $ (C^*(\mathcal{G}), C^*(\mathcal{H})) $ 上的双模。
• 证明当 $ c $ 源自 $ \mathcal{G}^{(0)} $ 上的连续拟不变测度时，所得 KK-类通过与 $ C^*(\mathcal{H}) $ 上的迹的 Kasparov 乘积，诱导出一个到 $ \mathbb{C} $ 的典范指标映射 $ K_1(C^*(\mathcal{G})) \to \mathbb{C} $。
• 展示先前关于圆作用的 KK-理论工作中所需的技术条件在作用源自上循环时自动满足，从而统一了这些方法。
• 系统性地构造重要例子（包括作为圆上纤维丛的非交换环面）的谱三元组与 KK-循环。

提出的方法

• 利用由 $ c $ 诱导的 1-参数自同构群的生成元，在 $ C_c(\mathcal{G}) $ 关于 $ C_c(\mathcal{H}) $ 的 $ C^* $-模完备化上构造一个无界正则算子 $ D $，其中 $ \mathcal{H} = \ker c $。
• 将无界双模 $ (\mathpzc{E}, D) $ 定义为 $ C_c(\mathcal{G}) $ 的完备化，其中 $ \mathpzc{E} $ 是 $ C^*(\mathcal{H}) $ 上的 $ C^* $-模，且 $ D $ 通过在群胚纤维上乘以该上循环的取值来作用。
• 使用 Kucerovsky 定理验证 $ (\mathpzc{E}, D) $ 与 $ C(S^1) $ 上的谱三元组的 Kasparov 乘积构成一个合法的偶 KK-循环，从而确保乘积良定义。
• 利用当 $ c $ 源自 $ \mathcal{H} $ 上的拟不变测度时，$ C^*(\mathcal{H}) $ 上存在典范迹 $ \tau $ 的事实，将 Kasparov 乘积与 $ \tau_* $ 复合，得到映射 $ K_1(C^*(\mathcal{G})) \to \mathbb{C} $。
• 将该构造应用于非交换环面，通过将其视为 $ S^1 \rtimes_\theta \mathbb{Z} $ 的半直积实现，其中上循环 $ c $ 由旋转数 $ \theta $ 给出。
• 利用形式上的 Bott 陈化，将所得的 $ K^0 $-类与 $ K_1(C^*(S^1 \rtimes_\theta \mathbb{Z})) $ 关联，证明该类是上循环循环与圆的谱三元组的 Kasparov 乘积。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用实值群胚上循环 $ c: \mathcal{G} \to \mathbb{R} $ 构造 $ (C^*(\mathcal{G}), C^*(\mathcal{H})) $ 上奇的、$ \mathbb{R} $-等变的无界 $ \mathbb{R} $-KK-循环？
• RQ2 在何种条件下，此类上循环会诱导出在 $ C^* $-模意义下具有紧致预解式的良定义无界正则算子 $ D $？
• RQ3 在何种条件下，所得的 KK-类 $ [(\mathpzc{E}, D)] \in KK_1(C^*(\mathcal{G}), C^*(\mathcal{H})) $ 会诱导出非平凡的指标映射 $ K_1(C^*(\mathcal{G})) \to \mathbb{C} $？
• RQ4 该构造与 KK-理论中关于圆作用的先前工作有何关联，特别是在技术假设方面？
• RQ5 该框架能否应用于将非交换环面作为圆上纤维丛，通过群胚上循环实现？

主要发现

• 对于任意连续 1-上循环 $ c: \mathcal{G} \to \mathbb{R} $，在局部紧致哈斯多夫群胚 $ \mathcal{G} $（具有哈尔系）上，若满足温和条件，则可构造出关于 $ (C^*(\mathcal{G}), C^*(\mathcal{H})) $ 的奇的、$ \mathbb{R} $-等变的无界双模 $ (\mathpzc{E}, D) $，其中 $ \mathcal{H} = \ker c $。
• 当 $ c $ 源自 $ \mathcal{G}^{(0)} $ 上的连续拟不变测度时，所得类 $ [(\mathpzc{E}, D)] \in KK_1(C^*(\mathcal{G}), C^*(\mathcal{H})) $ 通过与 $ C^*(\mathcal{H}) $ 上迹的 Kasparov 乘积，诱导出一个到 $ \mathbb{C} $ 的典范指标映射 $ K_1(C^*(\mathcal{G})) \to \mathbb{C} $。
• 对于 étale 群胚上的整数值上循环，所需的技术条件自动满足，使得该构造适用于所有 Cuntz-Krieger 代数及 $ \mathbb{Z} $-作用的半直积。
• 非交换环面 $ C^*(S^1 \rtimes_\theta \mathbb{Z}) $ 作为圆上的纤维丛出现，其谱三元组与上循环诱导的双模构成的 Kasparov 乘积，代表了该环面的 $ K^0 $-类。
• 在 [4] 中关于圆作用的技术条件被证明在作用源自上循环时自动满足，从而将该文献中的构造与当前框架统一。
• 该构造与 Kucerovsky 定理相容，确保双模与谱三元组的张量积构成合法的偶 KK-循环，且所得类为原始循环的 Kasparov 乘积。