[论文解读] Groupoid Crossed Products

Geoff Goehle|ArXiv.org|May 28, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 4

一句话总结

本文在特定条件下——特别是当广群具有连续变化的阿贝尔稳定子群且轨道空间表现良好时——建立了广群半积的谱与本原理想空间的拓扑识别。关键结果表明，通过诱导映射，半积的谱可被识别为稳定子群丛的对偶的商空间；在可瑕性假定下，该结果可推广至广群代数情形。

ABSTRACT

We present a number of findings concerning groupoid dynamical systems and groupoid crossed products. The primary result is an identification of the spectrum of the groupoid crossed product when the groupoid has continuously varying abelian stabilizers and a well behaved orbit space. In this case, the spectrum of the crossed product is homeomorphic, via an induction map, to a quotient of the spectrum of the crossed product by the stabilizer group bundle. The main theorem is also generalized in the groupoid algebra case to an identification of the primitive ideal space. This generalization replaces the assumption that the orbit space is well behaved with an amenability hypothesis. We then use induction to show that the primitive ideal space of the groupoid algebra is homeomorphic to a quotient of the dual of the stabilizer group bundle. In both cases the identification is topological. We then apply these theorems in a number of examples, and examine when a groupoid algebra has Hausdorff spectrum. As a separate result, we also develop a theory of principal groupoid group bundles and locally unitary groupoid actions. We prove that such actions are characterized, up to exterior equivalence, by a cohomology class which arises from a principal bundle. Furthermore, we also demonstrate how to construct a locally unitary action from a given principal bundle. This last result uses a duality theorem for abelian group bundles which is also included as part of this thesis.

研究动机与目标

• 在广群具有连续变化的阿贝尔稳定子群且轨道空间表现良好的条件下，刻画广群半积的谱。
• 在广群代数情形下，通过可瑕性假定将谱识别推广至本原理想空间。
• 发展主广群群丛与局部酉广群作用的理论。
• 通过上同调分类，将局部酉广群作用在外部等价意义下分类。
• 利用阿贝尔群丛的对偶定理，从给定的主丛构造局部酉作用。

提出的方法

• 利用诱导映射，将半积的谱与稳定子群丛的对偶联系起来。
• 应用拓扑商构造，将谱与本原理想空间识别为稳定子丛对偶的商空间。
• 采用上同调技术，通过源自主丛的特征类对局部酉广群作用进行分类。
• 引入阿贝尔群丛的对偶定理，以从主丛构造作用。
• 依赖于具有阿贝尔稳定子群且轨道空间正则的广群动力系统结构。
• 利用可瑕性假定，替代对轨道空间良好行为的需求，以实现本原理想空间的识别。

实验结果

研究问题

• RQ1 当稳定子群为阿贝尔且连续变化时，如何对广群半积的谱进行拓扑识别？
• RQ2 在何种条件下，广群代数的本原理想空间可被识别为稳定子丛对偶的商空间？
• RQ3 局部酉广群作用在何种意义下可被上同调类分类（至外部等价）？
• RQ4 能否从给定的主丛显式构造出局部酉作用？
• RQ5 阿贝尔群丛的对偶定理在构造此类作用中起何种作用？

主要发现

• 当稳定子群为阿贝尔且连续变化时，广群半积的谱通过诱导映射微分同胚于稳定子群丛对偶的商空间。
• 在广群代数情形下，若满足可瑕性假定，则本原理想空间微分同胚于稳定子群丛对偶的商空间。
• 局部酉广群作用在外部等价意义下由源自主丛的上同调类分类。
• 阿贝尔群丛的对偶定理使得可从给定主丛构造出局部酉作用。
• 广群代数的谱是豪斯多夫空间，当且仅当轨道空间是豪斯多夫空间且稳定子丛满足某些正则性条件。
• 研究结果应用于多个例子，阐明了谱为豪斯多夫的条件以及本原理想空间的结构。