[论文解读] Groupoid exactness and the weak containment problem

Claire Anantharaman-Delaroche|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Fuzzy and Soft Set Theory被引用 5

一句话总结

本文建立了内殆阿勉内拓扑的埃泰勒群胚（inner amenable étale groupoids）中六种精确性概念——在无穷远处的强阿勉内性、在无穷远处的阿勉内性、一致罗代代数的核性，以及各种C*-代数的精确性——之间的等价性，将经典离散群结果推广至群胚框架。本文引入了纤维化的史东-切赫紧化，并证明对于此类群胚，精确性蕴含在无穷远处的阿勉内性，从而解决了弱包含问题的关键方面。

ABSTRACT

Our purpose is to study in the setting of locally compact groupoids the analogues of the well-known equivalent definitions of exactness for discrete groups. Our best results are obtained for a class of étale groupoids that we call inner amenable. For locally compact groups this notion coincides with a classical notion of inner amenability. We give examples of such groupoids. Whether all étale groupoids have this property is still unknown. For inner amenable étale groupoids we extend what is known for discrete groups in proving the equivalence of six natural notions of exactness: (1) strong amenability at infinity; (2) amenability at infinity; (3) nuclearity of the uniform algebra of the groupoid; (4) exactness of this C^*-algebra; (5) exactness of the groupoid in the sense of Kirchberg-Wassermann; (6) exactness of the reduced C^*-algebra of the groupoid. We give several illustrations of these results. One of our motivations for this study of exactness is that it plays a crucial role in examining the relationships between the amenability of a groupoid and the fact that its full and reduced C^*-algebras coincide. This is highlighted in the review we give of the results obtained by several authors on this subject. We end our monograph with open questions and an appendix on fibrewise compactifications whose study is needed because our work requires to extend from discrete groups to any étale groupoid G the notion of Stone-Cech compactification on which G acts.

研究动机与目标

• 将精确性理论从离散群推广至局部紧致的埃泰勒群胚。
• 澄清群胚框架下在无穷远处的阿勉内性、精确性与弱包含性质之间的关系。
• 建立内殆阿勉内埃泰勒群胚的六种自然精确性概念之间的等价性。
• 为纤维化紧化提供一个框架，该框架将史东-切赫紧化推广至群胚作用。
• 解决关于群胚的精确性与在无穷远处的阿勉内性之间蕴含关系的开放问题。

提出的方法

• 引入内殆阿勉内局部紧致群胚的概念，推广离散群中的内殆阿勉内性。
• 为群胚在纤维空间上的作用构造纤维化的史东-切赫紧化，确保与群胚作用相容。
• 通过群胚在纤维化紧致纤维空间上的阿勉内作用，定义并分析群胚的在无穷远处的阿勉内性。
• 建立内殆阿勉内埃泰勒群胚中一致罗代C*-代数的核性与约化C*-代数的精确性之间的等价性。
• 应用C*-代数理论技术，包括半交叉积与核的正性，证明精确性与阿勉内性之间的蕴含关系。
• 利用纤维化紧化，将群作用于其史东-切赫紧化的一般化推广至群胚框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于埃泰勒群胚，六种精确性概念——在无穷远处的强阿勉内性、在无穷远处的阿勉内性、一致罗代代数的核性，以及全、约化和基尔伯格-沃瑟曼C*-代数的精确性——是否等价？
• RQ2 内殆阿勉内性概念能否以保持离散群关键性质的方式，推广至局部紧致群胚？
• RQ3 内殆阿勉内埃泰勒群胚的精确性是否蕴含在无穷远处的阿勉内性？若成立，其条件为何？
• RQ4 群胚作用的纤维化史东-切赫紧化与群胚在紧化空间上的作用的阿勉内性之间有何关系？
• RQ5 弱包含性质在刻画群胚的精确性与阿勉内性方面起什么作用？

主要发现

• 对于内殆阿勉内埃泰勒群胚，六种精确性概念——在无穷远处的强阿勉内性、在无穷远处的阿勉内性、一致罗代代数的核性，以及全、约化和基尔伯格-沃瑟曼C*-代数的精确性——彼此等价。
• 本文构造了群胚在其纤维化史东-切赫紧化上的自然作用，推广了离散群作用于其史东-切赫紧化的方式。
• 证明若群胚在具有连续截面的纤维化紧致纤维空间上具有阿勉内作用，则其为在无穷远处强阿勉内。
• 本文提供了内殆阿勉内埃泰勒群胚的示例，包括局部紧致空间上离散群作用的变换群胚。
• 证明对于内殆阿勉内埃泰勒群胚，精确性蕴含在无穷远处的阿勉内性，从而解决了弱包含问题的关键情形。
• 附录证明了即使范围映射非开，埃泰勒纤维空间的纤维化史东-切赫紧化仍为定义良好的等变紧化。