[论文解读] Groupoid Quantization of Loop Spaces

Christian Saemann, Richard J. Szabo|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 31被引用 15

一句话总结

本文提出了一种通过将2-plectic流形的量化归约为其环路空间的几何量化，从而实现群胚量化的方法，其中环路空间为辛流形。利用Hawkins的群胚框架，作者推导出环路空间上的形变坐标代数，该代数与M-理论预期一致，并通过非可分希尔伯特空间上的结合结构解决了非结合性问题。

ABSTRACT

We review the various contexts in which quantized 2-plectic manifolds are expected to appear within closed string theory and M-theory. We then discuss how the quantization of a 2-plectic manifold can be reduced to ordinary quantization of its loop space, which is a symplectic manifold. We demonstrate how the latter can be quantized using groupoids. After reviewing the necessary background, we present the groupoid quantization of the loop space of R^3 in some detail.

研究动机与目标

• 为M-理论中模糊M2-膜漏斗的量子解释提供一致性，特别是M2-膜世界体积极化为模糊三维球面的问题。
• 通过利用环路空间几何，为2-plectic流形——辛流形的范畴化推广——提供系统化的量化程序。
• 通过避免传统希尔伯特空间形式化的群胚方法，解决高阶几何量化中非结合性问题。
• 在更高几何结构（2-plectic形式）与弦理论和M-理论中的物理模型之间建立桥梁，特别是Basu-Harvey方程。
• 与现有的M-理论计算保持一致，包括M5-膜上开膜动力学的狄拉克量化。

提出的方法

• 应用传导映射，将流形$M$上的2-plectic形式$\varpi$映射到自由环路空间$\mathcal{L}M$上的辛形式$\omega = \mathcal{T}\varpi$。
• 从原始2-plectic流形$M$上的预量子gerbe出发，在环路空间$\mathcal{L}M$上构造一个预量子线丛。
• 使用Hawkins的群胚量化框架对环路空间进行量化，避免对可分希尔伯特空间的需求，并保持结合性。
• 引入一个扭动元素，以解释连接1-形式$\vartheta$不满足乘法性的缺陷，从而导出一个扭化的极化卷积代数。
• 推导环路空间上的形变坐标代数：$[\hat{x}^i(\tau), \hat{x}^j(\rho)] = \frac{i}{2}\pi^{ijk}\widehat{\frac{\dot{x}_k(\tau)}{|\dot{x}(\tau)|^2}} \delta(\tau - \rho)$，该结果与已知的M-理论结果一致。
• 验证该结果与传导的泊松类括号的一致性，以及与M-理论中狄拉克量化带来的高阶修正的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 2-plectic流形的量化能否被归约为其环路空间的几何量化？
• RQ2 群胚量化如何解决高阶几何量化中2-plectic结构固有的非结合性问题？
• RQ3 在环路空间上推导出的形变代数是否能重现M-理论中的已知结果，例如M5-膜上开膜狄拉克量化的结果？
• RQ4 该方法能否为Basu-Harvey方程中M2-膜的模糊漏斗解提供一致的量子描述？
• RQ5 传导映射在连接$M$上的2-plectic结构与$\mathcal{L}M$上的辛结构之间起什么作用？

主要发现

• 传导映射$\mathcal{T}$将流形$M$上的2-plectic形式$\varpi$转化为环路空间$\mathcal{L}M$上的辛形式$\omega = \mathcal{T}\varpi$，从而实现标准几何量化。
• 环路空间的群胚量化产生一个形变坐标代数$[\hat{x}^i(\tau), \hat{x}^j(\rho)] = \frac{i}{2}\pi^{ijk}\widehat{\frac{\dot{x}_k(\tau)}{|\dot{x}(\tau)|^2}} \delta(\tau - \rho)$，该结果与M-理论计算结果一致。
• 该方法通过群胚量化在非可分希尔伯特空间上实现的结合结构，解决了gerbe图像中的非结合性问题。
• 在环路空间上推导出的代数与Lüst代数以及早期结果的积分形式一致，确认了与已知闭弦和M-理论模型的一致性。
• 该方法重现了在M5-膜上开膜动力学狄拉克量化中发现的代数高阶修正，表明与微扰M-理论的兼容性。
• 该方法为将$S^3$作为2-plectic流形进行量化提供了自洽框架，可能实现对模糊M2-膜漏斗的量子描述。