[论文解读] Groupoids and inverse semigroups associated to W*-algebras

Anatol Odzijewicz, Aneta Sliżewska|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文通過構造 W*-代數 ℳ 的部分等距算子群胚 𝒰(ℳ) 及其複化 𝒢(ℳ)（即部分可逆元素），建立了 W*-代數與巴拿赫李群胚及逆半群之間的規範聯繫。本文證明這些結構具有自然的巴拿赫流形與李群胚結構，並揭示其與預對偶 ℳ* 上的典型巴拿赫李-泊松結構之間的深刻關係，將算子代數理論與泊松幾何及無限維哈密頓系統聯繫起來。

ABSTRACT

We investigate the Banach Lie groupoids and inverse semigroups naturally associated to W*-algebras. We also present statements describing relationship between these groupoids and the Banach Poisson geometry which follows in the canonical way from the W*-algebra structure.

研究动机与目标

• 建立從 W*-代數出發的巴拿赫李群胚與逆半群的自然構造。
• 研究與 W*-代數 ℳ 相關的群胚 𝒰(ℳ) 和 𝒢(ℳ) 的拓撲與巴拿赫流形結構。
• 釐清這些群胚與預對偶 ℳ* 上典型巴拿赫李-泊松結構之間的關係。
• 展示作用群胚 𝒰(ℳ)∗ℳ*+ 如何在 ℳ*+ 上的 GNS 緊包上具有忠實表示。
• 探討在不同類型的 W*-代數中，逆半群（如矩陣單位、克利福德、單生成、CAR 半群）在 𝒰(ℳ) 中的角色。

提出的方法

• 定義 𝒰(ℳ) 為 W*-代數 ℳ 中的部分等距算子集合，𝒢(ℳ) 為其複化，即部分可逆元素的集合。
• 構造作用群胚 𝒰(ℳ)∗ℳ*+，透過 GNS 構造作用於正的連續態的錐 ℳ*+ 上。
• 為 𝒰(ℳ) 配備一致拓撲與 s*(𝒰(ℳ), ℳ*)-拓撲，證明其形成一個拓撲群胚。
• 證明 𝒢(ℳ) 是以投影格 ℒ(ℳ) 為基的巴拿赫-李群胚，且 ℳ*+ 為巴拿赫流形。
• 利用預對偶 ℳ* 定義群胚代數叢的對偶叢上的典型巴拿赫李-泊松結構。
• 證明作用群胚 𝒰(ℳ)∗ℳ*+ 可嵌入至 GNS 表示的交換子的局部等距群胚中。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 W*-代數 ℳ 的結構自然定義巴拿赫李群胚與逆半群？
• RQ2 群胚 𝒰(ℳ) 和 𝒢(ℳ) 上出現的拓撲與可微結構為何？它們與 ℳ 的自然拓撲有何關係？
• RQ3 ℳ* 上的典型巴拿赫李-泊松結構如何與群胚 𝒢(ℳ) 和 𝒰(ℳ) 的幾何性質相互關聯？
• RQ4 作用群胚 𝒰(ℳ)∗ℳ*+ 及其在 GNS 緊包上的表示，如何反映 ℳ 的本質代數結構？
• RQ5 哪些類型的逆半群（如矩陣單位、克利福德、CAR 半群）自然出現在 𝒰(ℳ) 中？它們在量子代數背景下的意義為何？

主要发现

• W*-代數 ℳ 中的部分等距算子群胚 𝒰(ℳ) 在一致拓撲與 s*(𝒰(ℳ), ℳ*)-拓撲下均為拓撲群胚。
• 𝒢(ℳ)（即 𝒰(ℳ) 的複化）是基為 ℒ(ℳ) 的巴拿赫-李群胚，且 ℳ*+ 為巴拿赫流形。
• 作用群胚 𝒰(ℳ)∗ℳ*+ 在 GNS 緊包 𝔼̅→ℳ*+ 上具有忠實表示，如定理 2.9 所示。
• 作用群胚 𝒰(ℳ)∗ℳ*+ 可嵌入至 GNS 表示交換子的局部等距群胚中，如定理 2.10 所示。
• 在 𝒰(ℳ) 中出現的逆半群包括矩陣單位、克利福德、單生成與 CAR 半群，其中 CAR 半群在量子物理中具有根本重要性。
• ℳ* 上的典型巴拿赫李-泊松結構與 𝒢(ℳ) 及 𝒰(ℳ) 的群胚結構自然關聯，體現了泊松幾何與 W*-代數理論之間的深刻聯繫。