[论文解读] Groups acting on semimetric spaces and quasi-isometries of monoids

Robert D. Gray, Mark Kambites|ArXiv.org|Jun 2, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文引入了半度量空间——即具有非对称、部分定义的距离函数的空间——的广义拟等距概念，并将Švarc-Milnor引理由群在这些空间上的作用推广至此类空间。研究表明，有限生成幺半群的关键代数性质，包括增长速率、端点数以及同余类的拟等距不变性，在拟等距下保持不变，从而在几何群论与半群论之间建立了桥梁。

ABSTRACT

We study groups acting by length-preserving transformations on spaces equipped with asymmetric, partially-defined distance functions. We introduce a natural notion of quasi-isometry for such spaces and exhibit an extension of the Svarc-Milnor Lemma to this setting. Among the most natural examples of these spaces are finitely generated monoids and semigroups and their Cayley and Schutzenberger graphs; we apply our results to show a number of important properties of monoids are quasi-isometry invariants.

研究动机与目标

• 将拟等距的概念从度量空间推广至半度量空间，后者配备非对称、部分定义的距离函数。
• 将Švarc-Milnor引理推广至群在半度量空间上按等距作用的情形。
• 证明有限生成幺半群的基本代数性质在拟等距下保持不变，从而在几何不变量与代数结构之间建立联系。
• 为使用几何群论工具研究幺半群与半群提供一个几何框架。
• 证明诸如增长速率和端点数等性质在幺半群中即使不依赖群作用也保持拟等距不变。

提出的方法

• 将半度量空间定义为配备函数 d: X × X → ℝ∞ 的集合，满足 d(x,y) = 0 当且仅当 x = y，且满足三角不等式，但不一定具有对称性。
• 通过乘法和加法畸变常数定义半度量空间之间的拟等距，推广自度量几何中的标准概念。
• 为在半度量空间上适当且共(compact)作用的群建立广义的Švarc-Milnor引理，证明此类群与空间之间拟等距。
• 将该框架应用于有限生成幺半群与半群的Cayley图和Schützenberger图，这些图自然具有半度量结构。
• 利用群在半度量空间上的作用，证明诸如有限同余类直径等性质是拟等距不变量。
• 提供独立于群作用的直接几何证明，表明增长速率和端点数在幺半群中是拟等距不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 拟等距的概念能否有意义地扩展至非对称、部分定义的距离函数（即半度量空间）？
• RQ2 Švarc-Milnor引理是否适用于群在半度量空间上的作用？若成立，其形式应如何表述？
• RQ3 有限生成幺半群的基本代数性质（如增长速率和端点数）是否在拟等距下保持不变？
• RQ4 幺半群的同余类在多大程度上保持拟等距结构？何种条件可确保这一点？
• RQ5 是否可以在不依赖群作用的前提下建立幺半群性质的拟等距不变性？

主要发现

• 在半度量空间上适当且共(compact)作用的群与该空间之间拟等距，将Švarc-Milnor引理由对称情形推广至非对称设置。
• 有限生成幺半群 S 到 S/η 的自然商映射是拟等距，当且仅当 η-类在 d_A 距离下的直径有界。
• 通过直接几何论证，证明了有限生成幺半群的增长速率是拟等距不变量。
• 有限生成幺半群的端点数是拟等距不变量，且其证明独立于群作用的考虑。
• 若同态 φ 是幂等元分离的，且每个幂等元的原像在其对应最大子群中具有有限指数，则有限生成Clifford幺半群 M 与另一幺半群 N 拟等距。
• 有限生成幺半群 M 与有限群 G 的直积 M × G 与 M 拟等距，且在群作用下，半直积也满足相同性质。