[论文解读] Groups and rings definable in d-minimal structures

Antongiulio Fornasiero|arXiv (Cornell University)|May 18, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文将o-极小结构中的基础结果推广至有序域的d-极小扩张，证明了可定义群在唯一可定义微分流形结构下成为拓扑群，且维度至少为1且无零因子的可定义环是斜域。此外，本文建立了可定义环分解为$Π$-代数与离散环的结构，推广了模型论与驯化几何中的已知结果。

ABSTRACT

We study groups and rings definable in d-minimal expansions of ordered fields. We generalize to such objects some known results from o-minimality. In particular, we prove that we can endow a definable group with a definable topology making it a topological group, and that a definable ring of dimension at least 1 and without zero divisors is a skew field.

研究动机与目标

• 将o-极小模型论中的关键结果推广至有序域的d-极小扩张。
• 研究d-极小设定下可定义群与环的拓扑与代数结构。
• 建立可定义环分解为$Π$-代数与离散子环的定理。
• 探索d-极小结构中可定义离散环上可定义连通模的行为。

提出的方法

• 通过可定义微分结构，将Pillay在o-极小结构中关于可定义群的结果推广至d-极小设定。
• 利用可定义完备性及可定义集分解为开集与离散部分的性质，分析群与环的可定义性。
• 应用模型论技术，包括维数理论与理想分解，分析可定义环。
• 引入$Π$-代数与平凡/几乎平凡环的概念，以分解一般可定义环。
• 通过结构分析证明：维度≥1且无零因子的可定义环是斜域。
• 利用环同态的核将可定义环的代数与离散部分分离开来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在d-极小结构中，可定义群是否可赋予唯一可定义微分流形结构，使其群运算可微，如同在o-极小性中一样？
• RQ2 在何种条件下，d-极小结构中维度至少为1且无零因子的可定义环必然是斜域？
• RQ3 每个d-极小结构中的可定义环是否可分解为$Π$-代数与离散子环的直和？
• RQ4 在d-极小结构中，可定义离散环上的可定义连通模如何表现？
• RQ5 可定义环分解为代数与离散部分是否具有典范性与唯一性？

主要发现

• d-极小结构中的可定义群可赋予唯一可定义微分流形结构，使得群运算可微。
• 可定义连通的可定义阿贝尔群是可除的，扩展了o-极小模型论中的结果。
• 维度至少为1且无零因子的可定义环是斜域，且可定义同构于$\mathbb{K}$、$\mathbb{K}(\sqrt{-1})$，或$\mathbb{K}$上的四元数。
• 每个含单位元的可定义环$\mathbb{F}$可分解为$\mathbb{F} = D \oplus \mathbb{F}^0$，其中$D$为可定义离散子环，$\mathbb{F}^0$为可定义$\mathbb{K}$-代数。
• 可定义离散环在所有可定义连通模上作用平凡，即在这些模中对所有$f \in F$，$g \in G$，有$fg = 0$。
• 从可定义环到其$\mathbb{K}$-代数商的自然同态的核是一个几乎平凡环，证实了结构分解。