[论文解读] Groups in which Squares and Cubes Commute

Geetha Venkataraman|arXiv (Cornell University)|May 18, 2016

Mathematics and Applications参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文研究一个群中所有元素的平方与立方彼此交换时，该群是否必为交换群。研究证明，满足此条件的有限群以及某些类别的无限群（例如，局部有限群、剩余有限群、剩余p-群）必定是交换群。关键贡献在于证明：在任意满足平方与立方交换的无限群中，其扭子群必为交换正规子群；在附加有限性条件下，整个群亦为交换群。

ABSTRACT

If for all $a, b$ in a group $G$, we have that $a^2b^2 = b^2a^2$ and $a^3b^3 = b^3a^3$ then does the group necessarily have to be abelian? This paper shows that the answer is affirmative for finite groups as well as certain classes of infinite groups. In general we show that if $G$ is an infinite group in which squares commute and cubes commute then the set of torsion elements of $G$ denoted by $T(G)$ has to be an abelian normal subgroup of $G$.

研究动机与目标

• 确定一个群中所有平方与立方彼此交换时，是否必为交换群。
• 将有限群中关于幂交换条件的已知结果推广至无限群。
• 刻画满足幂交换条件的无限群中扭子群的结构。
• 探讨幂交换条件对各类群（包括局部有限群、剩余有限群和剩余p-群）的影响。
• 识别关于满足幂交换条件的非交换无限群存在的开放问题。

提出的方法

• 利用有限群理论与Sylow p-子群理论，证明满足平方与立方交换的有限群必为交换群。
• 应用涉及互素指数与元素阶的群论技巧，证明所有素幂阶元素生成的子群彼此交换。
• 利用如下事实：若自然数k与指数m或n之一互素，则集合{g ∈ G | g^k = e}构成一个正规交换子群。
• 运用局部X-群与剩余X-群的概念，将有限群的结果推广至更广泛的无限群类别。
• 通过直积商群的结构，证明满足幂交换条件的剩余X-群必为交换群。
• 应用幂零群与局部幂零群的相关结果，分析扭子群T(G)及其交换正规性。

实验结果

研究问题

• RQ1 若一个有限群G满足对所有a,b ∈ G有a²b² = b²a²且a³b³ = b³a³，是否必为交换群？
• RQ2 平方与立方的交换条件能否推广至任意一对互素指数m与n？此时是否仍能推出群为交换群？
• RQ3 在平方与立方彼此交换的无限群中，扭子群T(G)是否必为交换群且正规？
• RQ4 所有局部有限群或剩余有限群若满足幂交换条件，是否必为交换群？
• RQ5 是否存在一个非交换无限群，其扭子群为交换群，并且对某对互素m,n满足幂交换条件？

主要发现

• 对任意满足对所有a,b ∈ G有a²b² = b²a²且a³b³ = b³a³的有限群G，G必为交换群。
• 更一般地，若m与n为互素自然数，且对所有a,b ∈ G有a^m b^m = b^m a^m与a^n b^n = b^n a^n，则G为交换群。
• 在任意满足互素m,n幂交换条件的无限群G中，扭元素集合T(G)构成一个交换正规子群。
• 此类无限群G的所有Sylow p-子群均为交换群；若G为无限p-群，则G为交换群。
• 若G为局部有限或剩余有限群且满足幂交换条件，则G为交换群。
• 若G为某素数p的剩余p-群且满足幂交换条件，则G为交换群。