[论文解读] Groups of motions and mechanics I: point mechanics

D. H. Delphenich|ArXiv.org|Aug 13, 2007

Dynamics and Control of Mechanical Systems参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于作用于可积动力系统对称性的变换群的几何框架，用于经典点力学。通过从动力态的可积性条件推导运动方程，并将机械本构定律识别为分量函数，该方法将变分原理作为特例进行推广，从而在喷丛的微分几何结构中统一了基于对称性的力学。

ABSTRACT

It is shown that physical mechanics for pointlike bodies can be effectively modeled in terms of the action of transformation groups that act as symmetries of the solutions of systems of differential equations that describe the integrability of dynamical states. The equations of motion are then obtained from these integrability equations for the dynamical states. It is also observed that the functions that define the components of a dynamical state represent a set of mechanical constitutive laws. The variational formulation of mechanics is shown to be a specialization of these principles.

研究动机与目标

• 基于作用于可积动力系统对称性的变换群，发展经典点力学的几何表述。
• 不直接从变分原理出发，而是从动力态的可积性条件推导运动方程。
• 将动力态的分量与机械本构定律相联系，为力学中材料响应提供更深层的几何解释。
• 表明标准的变分力学表述在该更广泛框架中作为特例出现。

提出的方法

• 该框架利用李群的变换作用作为描述动力态的微分方程组解的对称性。
• 通过喷丛形式中曲率类张量的消失，推导出这些动力态的可积性条件。
• 运动方程作为要求动力态在群作用下局部可积的推论而获得。
• 将动力态的分量解释为定义机械行为的本构函数，类似于连续介质力学中的材料定律。
• 该方法采用喷丛几何系统处理微分方程的高阶导数及其对称性。
• 当对称群通过保持喷丛上拉格朗日1-形式的微分同胚作用时，变分原理被恢复为特例。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从动力态的可积性条件而非变分原理出发推导点力学的运动方程？
• RQ2 在几何力学框架中，变换群在定义动力系统对称性方面起什么作用？
• RQ3 动力态的分量函数如何与机械系统中的本构定律相关联？
• RQ4 在何种意义上，标准的变分力学表述作为该框架中的特例出现？
• RQ5 点力学中对称性、可积性与运动方程统一的几何结构基础是什么？

主要发现

• 点力学的运动方程从动力态的可积性条件推导而来，而非先验地基于作用量原理。
• 作用于微分方程解空间的变换群作为对称性生成动力学，其群作用编码了守恒律。
• 动力态的分量被证明代表机械本构定律，为材料响应提供了几何解释。
• 当对称群保持喷丛上的拉格朗日1-形式时，标准的变分力学表述作为特例被恢复。
• 该框架为力学提供了一个统一的几何结构，通过喷丛和对称群的语言，推广了拉格朗日和哈密顿表述。
• 该方法在经典点力学中建立了可积性、对称性与动力学之间更深层次的联系，潜在适用于场论和相对论系统。