[论文解读] Groups of quasi-invariance and the Pontryagin duality

Saak Gabriyelyan|ArXiv.org|Dec 9, 2008

Advanced Topology and Set Theory参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文引入了拟不变性群（QI-群）这一类波兰群，其定义基于局部紧群上的测度，其中平移操作要么保持测度不变，要么使其正交。论文证明了QI-群是σ-紧的，并构造了一个单生成的、非局部拟凸的QI-群$\mathbb{T}^{H}_{2}$，其二阶对偶群不是QI-群，从而表明庞特里亚金对偶性在二阶对偶下不保持QI性质。

ABSTRACT

A Polish group $G$ is called a group of quasi-invariance or a QI-group, if there exist a locally compact group $X$ and a probability measure $μ$ on $X$ such that 1) there exists a continuous monomorphism of $G$ to $X$, and 2) for each $g\in X$ either $g\in G$ and the shift $μ_g$ is equivalent to $μ$ or $g ot\in G$ and $μ_g$ is orthogonal to $μ$. It is proved that $G$ is a $σ$-compact subset of $X$. We show that there exists a quotient group $\mathbb{T}^H_2$ of $\ell^2$ modulo a discrete subgroup which is a Polish monothetic non locally quasi-convex (and hence nonreflexive) pathwise connected QI-group, and such that the bidual of $\mathbb{T}^H_2$ is not a QI-group. It is proved also that the bidual group of a QI-group may be not a saturated subgroup of $X$.

研究动机与目标

• 定义并研究拟不变性群（QI-群）作为具有特定测度理论不变性质的局部紧群的波兰子群。
• 研究非局部紧拓扑群中拟凸性、自反性与庞特里亚金对偶性之间的相互作用。
• 构造显式例子，展示某些QI-群的二阶对偶群不具有QI性质，从而挑战对偶性下QI性质的保持性。
• 阐明T-序列与度量结构在定义对偶群与二阶对偶群的波兰群拓扑中的作用。

提出的方法

• 将QI-群定义为嵌入局部紧群$X$中的波兰群$G$，使得对每个$g \in X$，测度平移$\mu_g$要么与$\mu$等价（若$g \in G$），要么正交（若$g \notin G$）。
• 利用Mackey-Weil定理，将$E(\mu)$（测度拟不变量的集合）的结构与局部紧性及波兰群拓扑联系起来。
• 构造商群$\mathbb{T}^{H}_{2} = \ell^2 / H$，其中$H$为离散子群，证明其为波兰群、单生成群、路径连通且非局部拟凸的QI-群。
• 利用$T$-序列和$\mathbb{T}^\infty$与$G_p$上的度量结构，定义波兰群拓扑，并分析收敛性与对偶性。
• 使用紧开拓扑与标准同态$\alpha_G: G \to G^{\wedge\wedge}$分析对偶群与二阶对偶群。
• 证明$G_p^\wedge = G_0^\wedge$且$G_p^{\wedge\wedge} = G_0$，但$G_0$不是QI-群，表明二阶对偶群可能不继承QI性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 庞特里亚金对偶性定理是否可推广至非局部紧群，特别是QI-群？
• RQ2 QI-群的二阶对偶群是否可能不是QI-群？
• RQ3 QI-群的二阶对偶群是否必然是环境局部紧群$X$的饱和子群？
• RQ4 在对偶群与二阶对偶群中，局部拟凸性与QI性质之间有何关系？
• RQ5 能否构造一个单生成、路径连通、非局部拟凸的QI-群？

主要发现

• 群$\mathbb{T}^{H}_{2} = \ell^2 / H$是波兰群、单生成群、路径连通且非局部拟凸的QI-群。
• 群$\mathbb{T}^{H}_{2}$的二阶对偶群不是QI-群，表明QI性质在二阶对偶下不被保持。
• QI-群的二阶对偶群可能不是环境局部紧群$X$的饱和子群。
• 对偶群$G_p^\wedge$同构于$G_0^\wedge$，且$G_p^{\wedge\wedge} = G_0$，但$G_0$不是QI-群。
• 对每个$\delta > 0$，极集$U_\delta^\triangleright$包含于$\phi_p(A(k,0))$（对某个$k$），意味着群表示中系数存在一致有界性。
• 标准映射$\alpha_p: G_p \to G_p^{\wedge\wedge} = G_0$的像在$G_0$中稠密，且$G_p^\wedge$、$G_0^\wedge$与$G_0$均为自反群，尽管$G_p$不是局部拟凸群。