[论文解读] Growth degree classification for finitely generated semigroups of integer matrices

Jason P. Bell, Michael James Coons+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2014

semigroups and automata theory参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文通过证明 log(mₙ(𝒜))/log n 的极限总是非负整数或无穷大，对整数矩阵有限生成半群的增长程度进行了分类，建立了增长速率的完整间隙结构。该结果解决了关于正则序列的一个问题，表明增长不可能为非整数次幂的多项式，对矩阵半群和自动序列具有重要意义。

ABSTRACT

Let $\mathcal{A}$ be a finite set of $d imes d$ matrices with integer entries and let $m_n(\mathcal{A})$ be the maximum norm of a product of $n$ elements of $\mathcal{A}$. In this paper, we classify gaps in the growth of $m_n(\mathcal{A})$; specifically, we prove that $\lim_{n o\infty} \log m_n(\mathcal{A})/\log n\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}\cup\{\infty\}.$ This has applications to the growth of regular sequences as defined by Allouche and Shallit.

研究动机与目标

• 对有限个整数矩阵集合中 n 个矩阵乘积的最大范数的可能增长速率进行分类。
• 解决 Jungers、Protasov 和 Blondel 提出的关于增长度极限整数性的问题。
• 在 mₙ(𝒜) 的增长中建立完整的间隙结构，表明非整数次幂的多项式增长是不可能的。
• 将先前关于多项式增长与指数增长的结果扩展为对多项式次数的完整分类。
• 将结果应用于 Allouche 和 Shallit 定义的正则序列，通过矩阵半群增长与自动序列建立联系。

提出的方法

• 将增长度定义为 GrDeg(𝒜) := limₙ→∞ log mₙ(𝒜) / log n，其中 mₙ(𝒜) 是有限集合 𝒜 中 n 个矩阵乘积的最大范数。
• 将联合谱半径 ρ(𝒜) 作为关键不变量，证明当 ρ(𝒜) > 1 时，GrDeg(𝒜) = ∞；当 ρ(𝒜) = 1 时，GrDeg(𝒜) ∈ ℤ≥₀。
• 证明当 ρ(𝒜) = 1 时，mₙ(𝒜) 的增长恰好类似于 nᵏ（k 为某非负整数），且具有统一的多项式界。
• 应用表示理论与矩阵的谱分析，研究特征值为单位根的矩阵，利用复矩阵半群的结构。
• 利用整数矩阵的乘积范数非零时，其联合谱半径必 ≥ 1 的事实，并证明仅当 ρ(𝒜) = 1 时增长为多项式。
• 通过 𝒮₀(Σₘ) 类建立矩阵半群增长与正则序列之间的联系，表明此类序列的增长度总是整数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于有限个整数矩阵集合，mₙ(𝒜) 的增长是否可能表现出非整数次幂的多项式增长，例如 n^α（α 非整数）？
• RQ2 对于整数矩阵半群，极限 limₙ→∞ log mₙ(𝒜)/log n 是否总是整数或无穷大？
• RQ3 当联合谱半径恰好为 1 时，是否意味着 mₙ(𝒜) 的增长为整数次幂的多项式？
• RQ4 由矩阵乘积定义的正则序列的增长度是否可能为非整数？
• RQ5 有限生成的整数矩阵半群的可能增长速率的完整结构是什么？

主要发现

• 对于任意 d×d 整数矩阵的有限非退化集合，增长度 GrDeg(𝒜) 总是非负整数或无穷大。
• 若 GrDeg(𝒜) = k ∈ ℤ≥₀，则存在正常数 C₁、C₂，使得对所有 n ≥ 1，有 C₁nᵏ ≤ mₙ(𝒜) ≤ C₂nᵏ。
• 当联合谱半径 ρ(𝒜) > 1 时，增长度为无穷大，表明为超多项式增长。
• 当 ρ(𝒜) = 1 时，增长为整数次幂的多项式，且不可能存在非整数次幂的多项式增长（例如 n^√2）。
• 该结果证实了 Jungers、Protasov 和 Blondel 对整数矩阵的猜想：极限 limₙ→∞ log(ρ(𝒜)^{-n}mₙ(𝒜))/log n 为整数。
• 任意正则序列 f ∈ 𝒮₀(Σₘ) 的增长度为非负整数，因其源于 ρ(𝒜) = 1 且具有多项式增长的矩阵乘积。