[论文解读] Growth in free groups (and other stories)

Igor Rivin|ArXiv.org|Nov 11, 1999

Analytic Number Theory Research参考文献 6被引用 24

一句话总结

本文利用生成函数和切比雪夫多项式，研究自由群中循环约化字与共轭类的分布与增长。研究结果表明，元素在模素数 p 下渐近等分布，推导出共轭类增长的显式有理生成函数，并将该框架扩展至正则图上的随机游走与马尔可夫链，证明了本原共轭类的 zeta 函数具有有理性。

ABSTRACT

We start by studying the distribution of (cyclically reduced) elements of the free groups with respect to their abelianization. We derive an explicit generating function, and a limiting distribution, by means of certain results (of independent interest) on Chebyshev polynomials; we also prove that the reductions $\mod p$ ($p$ -- an arbitrary prime) of these classes are asymptotically equidistributed, and we study the deviation from equidistribution. We extend our techniques to a more general setting and use them to study the statistical properties of long cycles (and paths) on regular (directed and undirected) graphs. We return to the free group to study some growth functions of the number of conjugacy classes as a function of their cyclically reduced length.

研究动机与目标

• 通过其阿贝尔化与同调类，理解自由群中循环约化字的分布。
• 推导给定阿贝尔化下此类字数的显式生成函数。
• 分析这些元素模素数 p 的渐近等分布性，包括误差界。
• 将该方法扩展至正则图上的随机游走与马尔可夫链，证明长路径的等分布性。
• 研究自由群中共轭类的增长函数，并确定其有理或无理性质。

提出的方法

• 利用自由群 $F_r$ 中循环约化字与特定图 $\mathcal{G}_r$（含 $2r$ 个顶点）上闭游走之间的对应关系。
• 应用 $\mathcal{G}_r$ 的邻接矩阵的谱理论，推导按同调类划分的字数生成函数。
• 依赖第一类切比雪夫多项式的性质，表达生成函数并证明正性结果。
• 运用初等摄动理论分析正则图与马尔可夫链上游走的等分布性。
• 通过邻接矩阵的幂的迹构造本原共轭类的 zeta 函数。
• 利用 $I - uA(G)$ 的行列式，推导出 zeta 函数的有理表达式，推广 Ihara 的 zeta 函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在自由群 $F_r$ 中，给定长度与阿贝尔化的循环约化字数的生成函数是什么？
• RQ2 循环约化字在模素数 $p$ 的同调类中如何分布？
• RQ3 这些字在模 $p$ 下的分布在多大程度上是等分布的？误差项是什么？
• RQ4 长度有界的共轭类数的生成函数是有理的还是无理的？
• RQ5 自由群中本原共轭类的 zeta 函数结构如何？其是否具有有理性？

主要发现

• 给定阿贝尔化的循环约化字数的生成函数可用第一类切比雪夫多项式表示。
• 当长度 $n \to \infty$ 时，$F_r$ 中循环约化字的分布收敛到一个极限分布，该分布与切比雪夫多项式的行为有分析上的联系。
• 在 $F_r$ 中，循环约化字模 $p$ 的约化在 $H_1(F_r, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ 的 $p^r$ 个同调类中渐近等分布，且给出了显式的误差界。
• 自由群 $F_r$ 中本原共轭类的 zeta 函数是有理的，表达式为 $\zeta(F_r) = \frac{(1 - u^2)^{r-1}(1 - u)}{1 - (2r - 1)u}$。
• 对于 $F_k \times F_m$（$k, m \geq 1$）以及涉及自由群与有限群的直积，共轭类数的生成函数是无理的。
• 有限图 $G$ 的 zeta 函数为 $\zeta_G(u) = \det(I - uA(G))$，该表达式推广了 Ihara 的 zeta 函数，并通过矩阵行列式证明了其有理性。