[论文解读] Growth in Right-Angled Groups and Monoids

Jayadev S. Athreya, Amritanshu Prasad|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文建立了图幺半群、右角Artin群（RAAGs）和右角Coxeter群（RACGs）的球面增长函数与测地线增长函数之间的函数关系，表明右角Artin群的球面增长函数由其定义图的团多项式通过公式 $\mathrm{RAAG}_{\Gamma}(t) = \frac{1}{p_{\Gamma}\left(\frac{-2t}{1+t}\right)}$ 确定。此外，本文还提供了利用邻域正则性与基于矩阵的递推关系来计算测地线生成函数的算法。

ABSTRACT

We derive functional relationships between spherical generating functions of graph monoids, right-angled Artin groups and right-angled Coxeter groups. We use these relationships to express the spherical generating function of a right-angled Artin group in terms of the clique polynomial of its defining graph. We also describe algorithms for computing the geodesic generating functions of these structures.

研究动机与目标

• 推导图幺半群、RAAGs 与 RACGs 的球面生成函数之间的函数关系。
• 以定义图的团多项式表达右角Artin群的球面生成函数。
• 开发计算这些结构测地线生成函数的算法，尤其在邻域正则性条件下。
• 建立测地线生成函数仅由定义图的团多项式决定的结论，推广先前结果。

提出的方法

• 作者利用Cartier-Foata恒等式与混洗关系，关联幺半群、RAAGs 与 RACGs 的增长函数。
• 他们将球面生成函数定义为形式幂级数，对按长度 $l(x)$ 分类的群元素求和 $t^{l(x)}$，并利用团多项式 $p_\Gamma(t)$ 推导出有理函数表达式。
• 在测地线增长方面，他们引入弱分支的概念，并利用容斥原理计算从给定团弱分支出的团。
• 他们定义矩阵 $\bar{B}_1$ 与对角矩阵 $\bar{D}$，以建模按类型（团大小）分类的字计数的递推关系，从而实现向量值生成函数。
• 利用邻域正则性，确保递推系数仅依赖于团的大小，而非具体团，从而简化计算。
• 该方法最终通过矩阵求逆得到有理生成函数表达式：$\sum \bar{\mathbf{m}}_n t^n = t[I - (\bar{D} + \bar{B}_1)t]^{-1}\bar{\mathbf{m}}_1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 图幺半群、RAAGs 与 RACGs 的球面生成函数如何通过定义图的团多项式相互关联？
• RQ2 右角Artin群的球面增长函数能否以定义图的团多项式表达为闭式？
• RQ3 在何种条件下，可利用图的组合数据算法化计算测地线生成函数？
• RQ4 RAAGs 与 RACGs 的测地线生成函数在多大程度上仅依赖于定义图的团多项式？
• RQ5 定义图的何种结构性质（如邻域正则性）可简化增长函数的计算？

主要发现

• 右角Artin群的球面生成函数为 $\mathrm{RAAG}_{\Gamma}(t) = \frac{1}{p_{\Gamma}\left(\frac{-2t}{1+t}\right)}$，推广了已知的幺半群与Coxeter群公式。
• 对于 $m$ 个节点的完全图，对应RAAG的球面增长函数为 $\left(\frac{1+t}{1-t}\right)^m$，与 $\mathbb{Z}^m$ 中 $\ell^1$-球面计数一致。
• 对于自由群 $F_2$，当 $\Gamma$ 为 $m$ 个顶点的无边图时，球面增长函数为 $\frac{1+t}{1-(2m-1)t}$，与自由群字计数一致。
• 对于正方形图（定义 $F_2 \times F_2$），团多项式为 $(1+2t)^2$，得到球面增长函数 $\left(\frac{1+t}{1-3t}\right)^2$。
• 对于路径图 $A_m$，团多项式为 $1 + mt + (m-1)t^2$，导出球面增长函数 $\frac{(1+t)^2}{1 - 2(m-1)t + (2m-3)t^2}$。
• 若两个邻域正则图具有相同的团多项式，则其 $\mathrm{GM}_\Gamma$、$\mathrm{RAAG}_\Gamma$ 与 $\mathrm{RACG}_\Gamma$ 的测地线生成函数完全相同，如 $\mathrm{GM}^*_{\Gamma_1}(t) = \mathrm{GM}^*_{\Gamma_2}(t)$ 所示。