[论文解读] Growth index with the cosmological constant

Seokcheon Lee, Kin‐Wang Ng|arXiv (Cornell University)|May 11, 2009

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文推导了在平坦ΛCDM宇宙（ω_de = -1）中当前宇宙时代增长指数γ的精确解析表达式，得到γ₀ = 0.5547，与6/11非常接近。该研究为ω_de = -1和ω_de = -1/3情形提供了增长因子δ_g(a)和增长指数f(Ω_m⁰, ω_de, a)的精确解，使未来观测能够对Ω_m⁰施加精确约束。

ABSTRACT

We obtain the exact analytic form of the growth index at present epoch ($a=1$) in a flat universe with the cosmological constant ({\it i.e.} the dark energy with its equation of state $ω_{de} = -1$). For the cosmological constant, we obtain the exact value of the current growth index parameter $γ= 0.5547$, which is very close to the well known value 6/11. We also obtain the exact analytic solution of the growth factor for $ω_{de}$ = -1/3 or -1. We investigate the growth index and its parameter at any epoch with this exact solution. In addition to this, we are able to find the exact $Ω_{m}^{0}$ dependence of those observable quantities. The growth index is quite sensitive to $Ω_{m}^{0}$ at $z = 0.15$, where we are able to use 2dF observation. If we adopt 2dF value of growth index, then we obtain the constrain $0.11 \leq Ω_{m}^{0} \leq 0.37$ for the cosmological constant model. Especially, the growth index is quite sensitive to $Ω_{m}^{0}$ around $z \leq 1$. We might be able to obtain interesting observations around this epoch. Thus, the analytic solution for this growth factor provides the very useful tools for future observations to constrain the exact values of observational quantities at any epoch related to growth factor for $ω_{de} = -1$ or -1/3.

研究动机与目标

• 推导平坦宇宙中宇宙常数模型（ω_de = -1）在当前宇宙时代（a=1）的增长指数的精确解析形式。
• 为暗能量状态方程ω_de = -1和ω_de = -1/3情形下的增长因子δ_g(a)获得精确解析解。
• 研究增长指数及其参数γ随不同红移下当前物质密度Ω_m⁰的依赖关系。
• 为利用未来结构增长速率观测数据精确约束Ω_m⁰提供精确的解析工具。
• 利用2dF数据约束，展示增长指数在z ≤ 1范围，特别是z = 0.15时对Ω_m⁰的敏感性。

提出的方法

• 通过精确的哈勃参数H(a)和背景演化方程，在具有恒定ω_de的平坦弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克宇宙中，推导线性密度扰动δ_g(a)的精确解。
• 通过将变量从时间t转换为尺度因子a，并引入Y = (Ω_m⁰ / Ω_de⁰) a^{3ω_de}，将线性增长方程转化为合流超几何微分方程。
• 利用合流超几何函数F和伽马函数Γ求解变换后的微分方程，得到通解δ_g^ex(Y) = c₁Y^i√(1+Y) + c₂Y^k B(Y)。
• 在物质主导时期应用初始条件δ_g^L(a_i) = a_i和dδ_g^L/da|_{a_i} = 1，确定ω_de = -1时的积分常数c₁^L和c₂^L。
• 将增长指数f = d ln δ_g / d ln a和增长指数参数γ = ln f / ln Ω_m(a)表示为特殊函数形式，实现在任意a处的精确计算。
• 利用精确解计算γ₀和f₀作为Ω_m⁰的函数，并基于z = 0.15处的2dF观测数据推导Ω_m⁰的约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 在平坦宇宙中，宇宙常数模型（ω_de = -1）的当前增长指数参数γ₀的精确解析值是多少？
• RQ2 增长指数f(a)及其参数γ如何随不同宇宙时代下当前物质密度Ω_m⁰变化？
• RQ3 增长指数对Ω_m⁰的敏感性在z ≤ 1范围内如何？是否可用于未来观测对Ω_m⁰施加约束？
• RQ4 能否为ω_de = -1和ω_de = -1/3情形推导出增长因子δ_g(a)的精确解析解？与数值解或近似解相比有何差异？
• RQ5 利用精确解，能否从z = 0.15处2dF观测得到的生长指数数据推导出Ω_m⁰的约束？

主要发现

• 宇宙常数模型的当前增长指数参数精确值为γ₀ = 0.5547，与广泛使用的6/11 ≈ 0.5455非常接近。
• 当Ω_m⁰在0.2至0.4之间变化时，增长指数f₀从0.4073变化至0.6028，变化幅度达32%；而γ₀仅在0.5580至0.5524之间变化，表明其对Ω_m⁰的依赖极弱。
• 当ω_de = -1且Ω_m⁰ = 0.3时，增长指数f₀精确等于0.5547，增长指数参数γ₀也等于0.5547，显示出高度一致性。
• 在ω_de = -1时，增长因子δ_g^L(a)的精确解为δ_g^L(a) = c₁^L √(1 + Q a^{-3}) + c₂^L Q^{2/3} a^{-2} F[1, 1/6, 5/3, -Q a^{-3}]，其中Q = Ω_m⁰ / Ω_de⁰。
• 基于z = 0.15处的2dF观测，本文将Ω_m⁰约束在0.11 ≤ Ω_m⁰ ≤ 0.37之间，表明f在低红移范围内对Ω_m⁰具有强敏感性。
• 增长指数对Ω_m⁰的敏感性在z ≤ 1范围内最高，使该红移区间特别适合未来对暗能量和物质密度的观测约束。